Понятие устойчивости систем управления. Определение устойчивости систем автоматического управления промышленными роботами. уравнений, определенное для любых Допустим, что среди всех движений нас интересует то, которое описывается заданными функциями време
Под устойчивостью или стабильностью системы в широком смысле понимается свойство системы возвращаться в некоторое установившееся состояние или режим после нарушения какими либо внешними или внутренними факторами.
Система может характеризоваться весьма сложным поведением, непрерывно изменятся, но при этом некоторые ее параметры могут сохранять постоянные значения. В таком случае можно говорить об устойчивости системы относительно именно этих параметров.
Например, исследуя процессы в колебательном контуре, было установлено, что не зависимо от начальных значений напряжения и тока, независимо от того имеет ли место затухающие или незатухающие колебания, частота их в данном контуре всегда остается неизменной и определяется параметрами контура. Это дает права назвать колебательный контор системой устойчивой относительно частоты собственных колебаний.
По значению к понятию устойчивости близки понятии равновесия и стационарности (состояния равновесия, стационарный процесс). Однако эти понятия имеет более узкий, частный смысл. Таким образом, более узким, частным является и употребляемое иногда понятие устойчивости системы как способности её стремиться из различных начальных состояний к некоторому равновесному, стационарному состоянию.
Основным содержанием теории устойчивости является: исследования влияния возмущающих воздействий на поведения системы, при этом под возмущающими факторами понимают силы обычно неизвестные заранее, которые как следствие своей неопределенности, так и в следствие относительной малости по сравнению с основными силами, не учитываются при описании движений системы.
Другим примером устойчивости поведения системы является ее цикличности.
Цикличным поведением называется такое, когда система при отсутствии возмущений периодически многократно проходит одну и ту же последовательность состояний – устойчивое множество состояний.
Относительно некоторого возмущения действующего на систему, её состояние равновесия (или цикл) может характеризоваться несколькими типами устойчивости.
Если система возвращается в состояние равновесия при любых возможных воздействиях на неё (при любых возмущениях), то равновесия называют абсолютно устойчивым . Например, маятник.
Если система, при возмущениях возвращается в состояние равновесия только из некоторой области, то равновесие называют устойчивой относительно этой области . Здесь примером может быть кирпич, который если чуть-чуть наклонить, то вернется в свое состояние, а если сильно наклонить, то упадет.
Если после воздействия на систему она сохраняет новое состояние, вызванное этим воздействием, то систему называют безразлично устойчивой . Простейшим примером является однородный круглый диск, укрепленный на оси, проходящий через его центр.
Во всех остальных случаях, система является не устойчивой.
В сложных кибернетических системах в зависимости от характера исследуемых задач и типа возмущения предлагается применять различные методы определения устойчивости (критерии устойчивости). Одним из таких методов, получившее широкое распространение, является определение устойчивости предложенным ученым Ляпуновым: предполагается, что некоторый объект (система автоматического управления) описывается системой дифференциальных уравнений.
Устойчивость поведения систем, как правило, является положительным свойством, обеспечивающим их нормальное целенаправленное функционирования и сохранения целостности в экстремальных условиях. Однако, в ряде случаев, устойчивость отражает инертность, косность системы, ограничивающую возможность управления ими.
Устойчивость является свойством всей системы в целом, а не в какой либо отдельной её части. Система, состоящая из нескольких устойчивых подсистем, может оказаться неустойчивой и наоборот: при объединения некоторого количества неустойчивых подсистем, может возникнуть устойчивая система, в зависимости от способа такого объединения.
С понятием устойчивости тесно связано понятие гомеостаза или гомеостазиса (от греч гомео – равный, стазис – состояние), применяемое вначале в биологии, где оно обозначало поддержание постоянства существенных параметров организма (температура, давление, состава крови и т.д.). В настоящее время гомеостазисом называют свойство системы, при взаимодействии со внешней средой, сохранять существенные параметры в некоторых заданных пределах.
Для иллюстрации явления гомеостазиса английским нейрофизиологом У.Р. Эшби была построена аналоговая модель, названая им гомеостатом, содержащая 4 вращающиеся магнита, изменяющих при своем вращении сопротивления 4ьох жидкостных потенциометра.
Экономические системы и их особенности
Экономические системы представляет частный случай сложных динамических систем.
Экономическую систему определяют как функциональную подсистему общества, в которой осуществляется производство, распределение и потребление материальных благ. Схематично можно представить следующим образом:
В результате приложения общественного труда происходит преобразование природных ресурсов в материальные блага, потребляемые обществом, таким образом, общество по отношению к экономической подсистемы преобразования ресурсов (производственной системе) выступает с одной стороны как ассоциация производителей, с другой как ассоциация потребителей, формирующее определенные требования к материальным благам – их ассортименту, количеству и качеству.
Результат сравнения параметров общественной потребностей и фактически произведенных материальных благ, то есть разность между общественной потребностью и возможность её удовлетворения представляет стимул развития экономики, реализуемой в процессе управления. Однако, в процессе управления реализуется не только простые результаты такого сравнения, но и цели вырабатываемые обществом и определяемые рядом социально-политических факторов, свойственных той или иной общественной формации и в первую очередь в форме собственности на средства производства.
Экономические системы характеризуются рядом следующих особенностей:
Они отличаются большой сложностью, обусловленное в наличие множественных и достаточно сильных материальных и информационных связей между подсистемами и элементами системы
Для экономических систем характерны непрерывное, динамичное и в макро-масштабах не повторяющие развития по сравнению, например, с биологическими системами. Так если виды животных или растений в процессе эволюции меняются за период 1000, 10000 и более лет, то способы производства, экономические отношения могут претерпевать существенные и даже неоднократные изменения в течение жизни одного поколения людей.
Экономические системы испытывают непрерывное воздействие природных факторов и общества, при чем эти воздействия имеют в основном недетерминированный, а стохастический характер. Так распределение природных ресурсов, состояние погоды и другие факторы внешней среды поддаются прогнозированию лишь с некоторой степени достоверности. В свою очередь и определение потребностей общества в материальных благах так же поддаются лишь статистические оценки. Это обусловлено и сложностью и изменчивостью потребностей и вкусов отдельных членов общества, влиянием моды, и статистической природной демографией, определяющие количественные потребности общества и размеры трудовых ресурсов. Неопределенный в значительной степени характер носит так же прогнозы развития науки, возможности появления тех или иных открытий, изобретений и усовершенствований, эффективности внедрения новой техники и технологий в производство.
Одной из важнейших функций экономических систем является производство и соответственно одной из основных подсистем является производственная система.
В производственной системе осуществляется преобразование материально-вещественных компонентов – природных ресурсов в материальные блага, предназначенные для общественного потребления.
В производственной системе и соответственно производственно-технологической структуре характерны достаточно четко выражены иерархические свойства. При описании ее иерархической структуры нужно учитывать как вертикальные (отраслевые), так и горизонтальные (региональные) аспекты формирования структуры, при этом первичными элементами, то есть звеньями самого низкого уровня иерархии являются элементарные технологические операции.
Дальнейшее их рассмотрение не имеет социально-экономического смысла так как оно уже приводит в область изучения физиологических свойств. На более высоких уровнях иерархии находятся цеха, предприятия, производственные комплексы, отрасли и т.д. Подсистемы иерархической производственной системы связаны между собой в первую очередь материальными потоками (сырье, заготовки, полуфабрикаты, комплектующие изделия, готовые изделия и т.п.).
При этом каждому материальному потоку можно сопоставить определенный информационный поток. Так от производственного подразделения низшего уровня иерархии передается информация о производственных возможностях и их реализации в плановые органы более высшего порядка – объединения, отрасли которые в свою очередь передают ее в государственные органы управления.
Последние пользуясь связями сверху вниз передают административно-директивные задания и определённые параметры экономического функционирование.
На ряду с вопросами структуры производственно-экономических систем важную роль играют проблемы их инфраструктуры. Под инфраструктурой в экономике понимают совокупность отраслей и видов деятельности который является внешним по отношению к основному производственному циклу обслуживает производственную и непроизводственную сферу экономики обеспечивая тем самым нормальное функционирование. Основных отраслей материального производства и развития производительных сил.
К инфраструктуре относят:
Транспорт и связь
Научные учреждения и учебные заведения
Коммунальные хозяйства
Учреждения культуры т.д.
Особенности экономических систем выделяют особенности производственной деятельности предприятия к относящихся к данной системы. Так особенности аграрной экономической системы вытекают из особенности сельскохозяйственного производства. Одной из особенностью сельхоз производства является то, что получение продукции, осуществляется здесь единственным путем, то есть биологического синтеза с помощью растений, выращиваемых в естественном грунте.
В отличие от таких средств производства, как машины, строения, подвергающиеся износу и требующие замены такие производственные ресурсы, как уголь, нефть, руда, запасы которых истощаются, земля при правильном ведении хозяйства, наоборот может превышать свое плодородие. Тоже можно отнести и к природным ресурсам: лесам, животный мир, рыбные запасы и т.д.
Ещё одной особенностью сельхоз производства является его цикличность, при чем циклы эти могут быть весьма длительными: земледелии от года до 2ух и более лет, в садоводстве и животноводстве более десятка лет. В течение цикла производства имеет место ситуации, когда интервалы времени, необходимые для превращения исходного материала в готовый продукт, не совпадает с интервалами времени, требующие воздействие труда. Так основной процесс роста и созревание зерновых культур происходит почти без приложения труда за счет естественных воздействий окружающей среды – атмосферной влаги и солнечной радиации. А так как эти факторы оказываются от года году весьма не постоянными и даже не поддаются долгосрочному прогнозированию, то тем самым выносится стохастичность и не возможность точного планирования в природу сельхоз производства.
Существенно отличается технологичные процессы промышленного и сельхоз производства.
В промышленном производстве сырье, предметы труда заключают в себе, как правило всю массу производимого продукта, так например, для изготовления автомобиля необходимо поставить на завод соответствующее количество метала, заготовок и других материала. Между тем исходным материалом для сельхоз производства является лишь значительно меньше по массе исходного материала, элементы, например семена, которые содержат только зародыши будущего биологического объекта и некоторое минимальное количество питательных веществ, необходимого для начальной стадии их развития. В дальнейшем масса производимого продукта создается в результате естественного роста и развития растений и животных, и усвоения нужных ингредиентов из внешней среды (почва, воздух, удобрение и т.д.). Это особенность сельхоз производства является его ещё одним фактором стохастичности.
Все перечисленные основные факторы и ряд других, менее существенных затрудняет достижение в сельском хозяйстве той ритмичности, организованности, высокой эффективности использования современной техники и средств автоматизации.
6.1. Понятие устойчивости систем автоматического управления
Динамика САУ характеризуется переходным процессом, возникающим в ней под действием какого-либо возмущения (управляющего воздействия, помехи, изменения нагрузки и др.). Вид переходного процесса в САУ зависит как от свойств самой САУ, так и от вида действующего на неё возмущения. В зависимости от вида переходного процесса в САУ различают следующие их разновидности.
Устойчивая САУ – система, которая при установившихся значениях возмущающих воздействий спустя некоторый промежуток времени возвращается к установившемуся состоянию равновесия.
Неустойчивая САУ – система, которая при установившихся значениях возмущающих воздействий не возвращается к установившемуся состоянию равновесия. Отклонение системы от состояния равновесия будет либо всё время увеличиваться, либо непрерывно изменяться в форме незатухающих постоянных колебаний.
Графики кривых переходных процессов, характерные для устойчивых и неустойчивых САУ, представлены на рис. 6.1. Очевидно, что работоспособная САУ должна быть устойчивой.
| а) | Примеры устойчивости и неустойчивости некоторой системы можно также иллюстрировать на следующих примерах (рис. 6.2). На рис. 6.2а приведён пример неустойчивой системы – при малейшем отклонении шара от начального устойчивого положения он скатывается по склону поверхности и в исходное положение не возвращается; рис. 6.2б иллюстрирует пример устойчивой системы, поскольку при любом отклонении шар обязательно возвратится к первоначальному положению; рис. 6.2в показывает систему, устойчивую при некоторых малых возмущающих воздействиях. Как только возмущающее воздействие превышает некоторую величину, система теряет устойчивость. Такие системы называют устойчивыми в малом и неустойчивыми в большом, поскольку устойчивость связана с величиной начального возмущающего воздействия. |
| б) | |
| Рис. 6.1. Виды кривых переходного процесса в устойчивой (а) и в неустойчивой (б) САУ: 1 – апериодический переходный процесс; 2 – колебательный переходный процесс |
Анализ работоспособности или устойчивости линейной САУ можно провести с использованием её математической модели. Как было показано ранее, линейная САУ может быть описана дифференциальным уравнением (2.1). Решение данного дифференциального уравнения в общем случае имеет вид (2.3)
где – свободная составляющая решения уравнения (2.1), которая определяется начальными условиями и свойствами рассматриваемой САУ;
– вынужденная составляющая решения уравнения (2.1), определяемая возмущаемыми воздействиями и свойствами рассматриваемой САУ.
Устойчивость САУ характеризуется процессами, происходящими внутри самой САУ. Эти процессы определяются видом свободной составляющей решения уравнения (2.1). Следовательно, для того чтобы САУ была устойчива, необходимо выполнение следующего условия:
В свою очередь, в общем виде может быть представлена как
где – корни, получаемые при решении характеристического уравнения (2.7). В табл. 6.1 приводятся некоторые разновидности переходных процессов в САУ, в зависимости от вида корней характеристического уравнения (2.7).
Таблица 6.1
Разновидности переходных процессов в САУ в зависимости от вида корней
характеристического уравнения (2.7)
Окончание табл. 6.1
| m – комплексных сопряжённых корней, действительная часть которых отрицательная: | колебательный затухающий | устойчивая | ||
| корни действительные, положительные, при этом | апериодический расходящийся | неустойчивая | ||
| среди корней (п.1) присутствует m – комплексных сопряжённых корней, действительная часть которых положительная: | колебательный расходящийся | неустойчивая | ||
| среди корней (п.1) присутствует пара комплексных корней, действительная часть которых равна нулю: | незатухающие колебания | система на грани устойчивости (чисто теоретический случай) |
Для выполнения условия (6.1) необходимо, чтобы каждое слагаемое выражение (6.2) при t®¥ стремилось бы к нулю. Как следует из анализа приводимых в табл. 6.1 примеров переходных процессов в САУ, для этого необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения (2.7) были отрицательные вещественные или комплексные с отрицательной действительной частью. Если среди корней характеристического уравнения (2.7) будет хотя бы один положительный вещественный корень или пара сопряжённых комплексных корней с положительной действительной частью, тогда рассматриваемая САУ будет неустойчива, поскольку слагаемое уравнения (6.2), соответствующее данному корню, при t®¥ будет неограниченно увеличиваться.
На рис. 6.3 и 6.4 приведены примеры расположения корней характеристического уравнения САУ на комплексной плоскости, соответствующие устойчивой и неустойчивой САУ. Как следует из этих примеров, для того чтобы САУ была устойчива, необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения САУ находились слева от мнимой оси.
Для анализа устойчивости САУ по виду корней её характеристического уравнения требуется найти аналитическое решение дифференциального уравнения (2.1), что является достаточно трудоёмкой задачей, а в некоторых случаях – невозможной. Поэтому на практике широкое распространение получили критерии устойчивости, под которыми понимается следующее.
Критерий устойчивости – совокупность признаков, позволяющих иметь представление о знаках корней характеристического уравнения без решения самого уравнения. Существуют следующие разновидности критериев устойчивости:
− алгебраические критерии устойчивости (критерии Вышнеградского, Рауса, Гурвица). Для анализа устойчивости САУ в данном случае используются коэффициенты характеристического уравнения системы;
− частотные критерии устойчивости (критерии Найквиста, Михайлова). Данные критерии устойчивости предполагают применение частотных характеристик системы.
Применение того или иного критерия устойчивости позволяет судить об устойчивости САУ более просто и эффективно, чем при решении описывающего её дифференциального уравнения (2.1). Кроме этого, некоторые критерии устойчивости позволяют установить причину неустойчивости САУ и наметить пути по достижению устойчивости системы.
6.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
Данный вид алгебраического критерия является наиболее распространённым на практике для исследования устойчивости САУ. Исходными данными для исследования устойчивости в данном случае является характеристическое уравнение замкнутой САУ
Из коэффициентов характеристического уравнения (6.3) составляется матрица (6.4), размерность которой равна порядку характеристического уравнения (6.3). Матрица (6.4) составляется по следующему правилу: по главной диагонали выписываются последовательно коэффициенты характеристического уравнения, начиная с C 1 . Столбцы таблицы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по возрастающим индексам, вниз – по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени порядка характеристического уравнения n заменяются нулями.
Условия устойчивости по Гурвицу: для устойчивости САУ, имеющей характеристическое уравнение (6.3), необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения (6.3) были положительны, а также были положительны n определители, составленные из коэффициентов уравнения (6.3) на основе матрицы (6.4). Для составления определителя 1,2, …, n -го порядка берутся 1,2, …, n столбцов и строк. Приводимые ниже примеры иллюстрируют это правило.
Пример 1 . Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 2–го порядка:
матрица (6.4) запишется как
Определители D 1 , D 2 , составленные на основе (6.6), имеют вид
C 0 , C 1 , C 2 будут больше нуля, а также будут положительны определители (6.7) и (6.8).
Пример 2. Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 3-го порядка:
матрица (6.4) запишется как
Определители D 1 – D 3 , составленные на основе (6.10), имеют вид
Согласно критерию устойчивости Гурвица данная система будет устойчивой при условии, что коэффициенты C 0 – C 3 будут больше нуля, а также будет положительным определитель (6.12).
Пример 3. Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 4-го порядка:
матрица (6.4) запишется как
Определители D 1 – D 4 , составленные на основе (6.15), имеют вид
Согласно критерию устойчивости Гурвица данная система будет устойчивой при условии, что коэффициенты C 0 – C 4 будут больше нуля, а также будут положительны определители (6.16)–(6.19).
Алгебраический критерий Гурвица позволяет наглядно оценить влияние того или иного параметра на устойчивость САУ в целом. Предположим, что для рассматриваемой САУ, математическая модель которой имеет характеристическое уравнение (6.3), необходимо исследовать влияние значения параметра С n на устойчивость. Для этого, придавая ряд допустимых значений для С n , вычисляем n определителей, составленных из коэффициентов уравнения (6.3) на основе матрицы (6.4). Каждый из определителей D i где i=0,..,n будет представлять собой функцию, зависящую от параметра С n , которую можно представить в виде графика (рис. 6.5). Изобразив на одном графике функции D i (С n) , где i=0,.., n , определяем на оси абсцисс отрезок изменения С n , на протяжении которого все n определителей будут положительные (на рис. 6.5 этот отрезок выделен жирной линией). Следовательно, согласно критерию Гурвица при значениях С n , которые принадлежат выделенному отрезку, система будет устойчивой. Если после построения графиков функции D i (С n) , где i=0,.., n , на оси абсцисс невозможно выделить отрезок изменения С n , на протяжении которого все n определителей будут положительные (рис. 6.6), это говорит о том, что изменением значения С n привести САУ к состоянию устойчивости невозможно.
Применение алгебраического критерия устойчивости Гурвица предполагает, что дифференциальное уравнение, описывающее САУ (6.3), известно и достаточно точно известны его коэффициенты. В некоторых случаях на практике выполнить данные условия невозможно. Кроме этого, с увеличением порядка характеристического уравнения САУ (6.3) увеличивается сложность вычисления определителей, составляемых на основе матрицы (6.4). Поэтому на практике получили распространение также частотные критерии устойчивости, которые позволяют оценить устойчивость системы, даже если дифференциальное уравнение (2.1) неизвестно, а в наличии имеются экспериментальные частотные характеристики рассматриваемой САУ.
6.3. Частотный критерий оценки устойчивости Найквиста
Частотные критерии устойчивости в настоящее время получили широкое признание. Один из таких критериев – критерий Найквиста или частотный амплитудно-фазовый критерий. Данный вид критерия является следствием теоремы Коши. Доказательство справедливости критерия Найквиста приводится в . Рассматриваемый критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ посредством исследования АФЧХ этой САУ в разомкнутом состоянии, поскольку данное исследование выполнить проще.
Исходными данными для исследования устойчивости САУ с помощью критерия Найквиста является её АФЧХ, которая может быть получена либо экспериментально, либо с использованием известного выражения для передаточной функции разомкнутой САУ (3.6) путём замены p=jw .
Условия устойчивости по Найквисту:
1) если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то амплитудно-фазовая характеристика данной САУ, получаемая при изменении w от –¥ до +¥ j 0);
2) если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет k корней в правой полуплоскости, то АФЧХ САУ при изменении w от –¥ до +¥ должна охватывать k раз точку на комплексной плоскости с координатами (–1, j 0). Угол поворота вектора W(jw) должен составлять при этом 2p k .
Замкнутая САУ будет устойчива, если при изменении w от 0 до +¥ разность между числом положительных и отрицательных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы через отрезок вещественной оси (–¥ , –1) будет равна k/2 , где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. За отрицательный переход годографа вектора W(jw) считается его переход из нижней полуплоскости в верхнюю при возрастании w . За положительный переход годографа вектора W(jw) принимается его переход из верхней полуплоскости в нижнюю при той же последовательности изменения частоты.
При отрицательном знаке у комплексной частотной характеристики указанные выше положения определяются точкой (+1, j 0).
Критерий Найквиста справедлив также для случая, когда полином С(p) в (3.6) САУ имеет нулевой корень, что соответствует значению АФЧХ, равному бесконечности. Для исследования устойчивости таких САУ необходимо мысленно дополнить годограф АФЧХ окружностью бесконечного радиуса и замкнуть годограф с вещественной полуосью в кратчайшем направлении. Далее проверить соблюдение условий устойчивости по Найквисту и сделать выводы.
Примеры АФЧХ устойчивых и неустойчивых САУ приведены на рис. 6.7, 6.8.
6.4. Логарифмический критерий устойчивости
Данный критерий устойчивости есть интерпретация частотного критерия устойчивости Найквиста в логарифмической форме. Рассмотрим две АФЧХ (рис. 6.9), соответствующие разомкнутой САУ, при этом АФЧХ (1) соответствует САУ, неустойчивой в разомкнутом состоянии, АФЧХ (2) – САУ, устойчивой в разомкнутом состоянии. Введём характерные точки рассматриваемых АФЧХ: w 1с , w 2с – точки, соответствующие частотам, при которых амплитуды векторов W(jw) соответственно систем (1) и (2) становятся равными единице. Данная частота носит название частоты среза. На комплексной плоскости эта точка соответствует точке пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса, центр которой находится в начале координат (на рис. 6.9 эта окружность изображена пунктирной линией). Эта же точка соответствует точке пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс (рис. 6.10); w 1 p , w 2 p – точки, соответствующие частотам, при которых фазы векторов W(jw) соответственно систем (1) и (2) становятся равными –180 О. На комплексной плоскости эта точка соответствует точке пересечения АФЧХ с вещественной отрицательной полуосью. Эта же точка соответствует точке пересечения ЛФЧХ с осью абсцисс при условии, что ЛАЧХ и ЛФЧХ изображаются на одном графике в форме, представленной на рис. 6.10.
| Рис. 6.9. АФЧХ САУ: 1 – неустойчивой в разомкнутом состоянии; 2 – устойчивой в разомкнутом состоянии | Рис. 6.10. ЛАЧХ и ЛФЧХ неустойчивой (1) и устойчивой (2) САУ |
Согласно критерию устойчивости Найквиста, если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то амплитудно-фазовая характеристика данной САУ, получаемая при изменении w
от –¥
до +¥
, не должна охватывать точку на комплексной плоскости с координатами (–1, j
0). Другими словами, как следует из рис. 6.9, система будет устойчива, если w p >w с
, в противном случае (w p
Если число точек пересечения АФЧХ и отрицательной вещественной полуоси на отрезке (–¥ , –1) при изменении w от 0 до +¥ больше одной (рис. 6.11), тогда, для того чтобы САУ была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо, чтобы количество таких точек на отрезке (–¥ , –1) было чётным. При этом ЛФЧХ должна пересечь чётное количество раз ось абсцисс на отрезке от 0 до частоты среза w с (рис. 6.12).
Для устойчивости САУ в замкнутом состоянии, которые в разомкнутом состоянии неустойчивы и имеют k -корней, лежащих справа от мнимой оси, логарифмический критерий устойчивости может быть сформулирован следующим образом: подобные САУ будут устойчивы, если разность чисел положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ и отрицательных переходов ЛФЧХ через значение –180°, лежащих на отрезке от 0 до w С , будет равна k/2 . Напомним, что за положительный переход характеристики принимается её переход из верхней полуплоскости в нижнюю при возрастании w . За отрицательный переход характеристики принимается её переход из нижней полуплоскости в верхнюю при той же последовательности изменения частоты. Частотные характеристики САУ, неустойчивой в разомкнутом состоянии и устойчивой в замкнутом состоянии, у которой k=1 , приведены на рис. 6.13, 6.14.
6.5. Частотный критерий оценки устойчивости Михайлова
Исходными данными для исследования устойчивости САУ с помощью критерия Михайлова является АФЧХ замкнутой системы, которая может быть получена с помощью характеристического полинома замкнутой САУ (3.35), имеющего порядок n :
Условия устойчивости по Михайлову: если вектор , характеризующий замкнутую САУ, при изменении w от –¥ до +¥ описывает в положительном направлении (не изменяя направления) угол, равный np (где n – степень характеристического полинома (6.20)), то такая САУ будет устойчивой. В противном случае САУ будет неустойчивой. Доказательство данного утверждения приводится в .
Поскольку годограф кривой вектора передаточной функции замкнутой САУ симметричен, допускается ограничиться рассмотрением лишь его части, соответствующей изменениям w от 0 до +¥ . При этом угол, описываемый вектором , при изменении w от 0 до +¥ уменьшится вдвое.
На рис. 6.15, 6.16 приведены примеры годографов вектора , соответствующие устойчивой, неустойчивой и нейтральной САУ (системы, находящейся на грани устойчивости).
6.6. Построение областей устойчивости САУ
Рассмотренные выше критерии устойчивости позволяют определить, устойчива рассматриваемая САУ при заданных параметрах или нет. Если САУ неустойчива, часто приходится искать ответ на вопрос: в чём причина неустойчивости, и определить пути её устранения. Кроме оценки устойчивости, на практике часто возникает необходимость определения путей повышения динамических показателей САУ. Перечисленные задачи могут быть решены с помощью существующих критериев устойчивости САУ, однако наиболее эффективно они решаются путём построения областей устойчивости и неустойчивости САУ.
Предположим, что рассматриваемая САУ неустойчива и при этом она может быть представлена линейным дифференциальным уравнением (2.1), характеристическое уравнение которого будет иметь следующий вид (6.3):
Далее предположим, что коэффициенты С 0 –С n -1 данного характеристического уравнения заданы, а коэффициент С n может изменяться в диапазоне С n (min) –С n (max) . Задавая ряд значений для С n из указанного диапазона, находим в пределах этого диапазона отрезки, на протяжении которых С n имеет такие значения, при которых САУ будет устойчивой (рис. 6.17), т.е. все корни характеристического уравнения (6.21) будут лежать на комплексной плоскости слева от мнимой оси. Граничные точки «отрезков устойчивости» соответствуют значениям С n , при которых САУ находится на грани устойчивости.
В уравнении (6.21) могут изменяться два и более коэффициентов. Если в нём изменяются два коэффициента (предположим, что это С 0 и С n ), тогда проводится исследование зависимости устойчивости САУ от значений коэффици-
ентов С 0 и С n путем задания ряда значений этим коэффициентам из некоторых допустимых диапазонов и проверка устойчивости САУ при выбранных значениях С 0 и С n . В этом случае области устойчивости будут представлять собой некоторые участки на плоскости координат изменяемых коэффициентов С 0 и С n (рис. 6.18). Границей устойчивости системы в данном случае будет кривая, ограничивающая области устойчивости.
Если в характеристическом уравнении изменяются в некоторых допустимых пределах три параметра (например, С 0 , С 1 и С n ), тогда при исследовании зависимости устойчивости САУ от значений С 0 , С 1 и С n будет найдена область устойчивости САУ, которая будет представлять собой часть пространства, ограниченную некоторой сложной поверхностью (рис. 6.19). Эта сложная поверхность в данном случае будет границей устойчивости САУ.
Рис. 6.19. Область устойчивости САУ при изменении трёх параметров
(С 0
, С 1
и С n
)
В общем случае, если предположить, что в характеристическом уравнении (6.21) все входящие в него коэффициенты С 0 -С n могут изменяться в некоторых допустимых пределах, тогда устойчивость САУ можно рассматривать как логическую функцию, определённую в некотором многомерном пространстве. В одних точках этого многомерного пространства эта функция будет принимать значение «Истина» (САУ устойчива), в других – «Ложь» (САУ неустойчива). Каждой точке такого пространства (пространства коэффициентов) будут соответствовать определённые значения С 0 -С n , которые являются его координатами. Гиперповерхность, ограничивающая область устойчивости САУ, будет являться границей области устойчивости в рассматриваемом пространстве коэффициентов.
При определении областей устойчивости САУ может быть выделена одна область устойчивости, может быть выделено несколько областей устойчивости, а может быть не выделено ни одной.
Следящая система (рис. 1.14, а) находится в состоянии равновесия, когда ее ошибка Это состояние может быть устойчивым или неустойчивым. Если после некоторого изменения задающего воздействия (поворота ведущего вала на угол система в результате затухающего переходного процесса (рис. 2.1, а, б) снова приходит в состояние равновесия то это состояние равновесия является устойчивым и система называется устойчивой. Когда после незначительного изменения задающего воздействия (отклонения системы от равновесного состояния) система не стремится в первоначальное состояние равновесия, а в ней возникают незатухающие колебания управляемой величины (рис. 2.1, в, г) или же изменение будет независимым от то состояние равновесия в данной системе является неустойчивым и система называется неустойчивой.
Наглядное представление об устойчивом и неустойчивом равновесных состояниях дает рассмотрение системы шар - поверхность. Шар, помещенный во впадине (рис. 3.1, а), находится в устойчивом равновесном состоянии, так как после его отклонения под влиянием внешнего воздействия он возвратится в свое первоначальное состояние. Система шар - поверхность является устойчивой. Шар, расположенный на верхней точке возвышенности (рис. , находится в неустойчивом равновесном положении: достаточно незначительного отклонения от
Рис. 3.1. К понятию устойчивости равновесных состояний системы шар-поверхность: а - устойчивое состояние; б - неустойчивое состояние; в - состояние, устойчивое при малых и неустойчивое при больших отклонениях.
этого состояния, и шар скатится по склону поверхности и не возвратится в исходное положение. Рассматриваемая система неустойчива.
Таким образом, под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться в прежнее состояние равновесия после вывода ее из этого состояния и прекращения изменения задающего или влияния возмущающего воздействия.
Только устойчивая система является работоспособной. Поэтому одной из основных задач теории автоматического управления является исследование устойчивости САУ. Основы строгой теории устойчивости динамических систем были разработаны акад. А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.). Понятия об устойчивости, вытекающие из этой работы, заключаются в следующем.
Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит от величины возмущения. Линейная система, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчива и при больших. Нелинейные же системы могут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при больших. Примером такой нелинейной системы являются стенные часы. Если неподвижному маятнику сообщить слабый толчок, то маятник, совершив несколько качаний, остановится, т. е. система устойчива при малых возмущениях. Если же маятнику сообщить более сильный толчок, то последний у заведенных часов начинает совершать незатухающие колебания. Следовательно, система неустойчива при больших возмущениях. Наглядное представление о нелинейных системах, устойчивых при малых и неустойчивых при больших возмущениях, дает рассмотрение шара, помещенного во впадине, расположенной на вершине выпуклого тела (рис. 3.1, в). При малых отклонениях, не превышающих края впадины, шар возвращается в исходное положение, т. е. система шар-поверхность устойчива. При отклонениях за край впадины шар не возвращается в исходное положение - система неустойчива. Поэтому для нелинейных систем устойчивость исследуется отдельно для случая малых возмущений, т. е. устойчивость в малом, и устойчивость при больших возмущениях, т. е. устойчивость в большом.
Согласно теореме Ляпунова, об устойчивости нелинейных систем при малых возмущениях можно судить по их линеаризированным уравнениям, достаточно точно описывающим поведение систем при малых отклонениях от состояния равновесия. Для определения устойчивости нелинейных систем при больших возмущениях необходимо пользоваться исходными нелинейными уравнениями динамики. В большинстве практических случаев системы, устойчивые при малых отклонениях, оказываются устойчивыми и при достаточно больших отклонениях, возможных в процессе эксплуатации, и поэтому вопрос об устойчивости этих систем может быть решен на основании исследования линеаризованных уравнений.
Проблема устойчивости обычно возникает в замкнутых САУ из-за влияния обратной связи. Поэтому в дальнейшем устойчивость исследуется на примерах замкнутых систем, хотя методы исследования устойчивости универсальны.
Рассмотренная выше устойчивость (совместно с критериями ее определения) не является единственным свойством систем автоматического управления. Системы характеризуются: запасом устойчивости, областями устойчивости, притяжения, качеством регулирования и другими характеристиками. Рассмотрим некоторые из них.
Структурная устойчивость (неустойчивость)
Это такое свойство замкнутой системы, при наличии которого она не может быть сделана устойчивой ни при каких изменениях параметров.
Пусть
.
Годограф Найквиста для данной
системы изображен на Рис.А. Устойчивость
этой системы определяется значениями
параметров
и
.
Рассматриваемая система является
структурно устойчивой.
Пусть
.
(Рис.В). Устойчивость также зависит
от параметров
и
.
Система структурно устойчива.
Пусть
.
В любом случае (при любых значениях
параметров) система будет неустойчива.
То есть система является структурно
неустойчивой.
В частном случае передаточная функция
имеет вид
.
При этом соответствующее
характеристическое уравнение замкнутой
системы:
.
Нарушен принцип перемежаемости
корней и полюсов. Система неустойчива.
Структурно неустойчива.
Система с передаточной функцией
- структурно неустойчива, так как для
замкнутой системы,
при этом коэффициенты
,
,
,
,
- все положительны, но из условияследует, что
,
откуда
,
или
.
То есть система неустойчива.
Система
также структурно устойчива. Здесь звено
- квазиапериодическое (статически
неустойчиво). Характеристическое
уравнение замкнутой системы.
Откуда можно получить два граничных
условия:
и
.
Для одноконтурных систем имеют место условия (Мейеров М.В.):
Пусть одноконтурная система состоит из:
-
интегрирующих звеньев,
-
неустойчивых звеньев,
-
консервативных звеньев. Тогда при
отсутствии в системе дифференцирующих
звеньев она будет структурно устойчива
в том случае, если
В случае многоконтурных систем соотношения Мейерова необходимо применять к каждому контуру, входящему в систему.
Запас устойчивости
Факт обнаружения устойчивости не дает уверенности в работоспособности системы.
Возможны неточности (погрешности), так как:
математическое описании системы идеализировано;
часто бывает произведена линеаризация звеньев;
неточность определения параметров;
изменение условий работы (по отношению к моделируемым).
Следовательно, необходим запас устойчивости.
При использовании критерия Гурвица запас определяется величиной предпоследнего минора:
Если
- запас устойчивости отсутствует;
-
запас имеется.
Запас устойчивости в системе характеризует степень устойчивости.
Запас устойчивости и степень устойчивости можно определить по расположению корней характеристического уравнения и по частотных характеристикам системы.
Аналогично можно определить запас устойчивости по логарифмическим характеристикам L( ) и ( ) , применяемым при определении устойчивости по критерию Найквиста.
Область устойчивости
На практике проектировщиков систем автоматического управления интересует пространство (область, пределы, диапазон) параметров, при которых системы является устойчивой. Множество значений параметров, при которых система обладает свойством устойчивости, называется областью устойчивостисистемы.
Для определения областей устойчивости имеется несколько методик.
На основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица;
Метод Д-разбиения;
Метод корневого годографа.
Область устойчивости по Гурвицу
определяется с помощью использования
равенств в условиях Гурвица вместо
неравенств. Чаще всего определение
границы искомой области может быть
произведено при условии
.
(Смотри пункт "Определение критического
коэффициента усиления"). Отсюда
определяется зависимость интересующего
нас параметра
от
параметра.
Получаемая зависимость()-
граница области устойчивости системы.
В системах более высоких порядков возникает необходимость рассмотрения других миноров. При этом область устойчивости может сужаться.
10.1. Понятие структурной устойчивости. АФЧХ астатических САУ
САУ может быть неустойчивой по двум причинам: неподходящий состав динамических звеньев и неподходящие значения параметров звеньев.
САУ, неустойчивые по первой причине называются структурно неустойчивыми . Это означает, что изменением параметров САУ нельзя добиться ее устойчивости, нужно менять ее структуру.
Например, если САУ состоит из любого количества инерционных и колебательных звеньев, она имеет вид, показанный на рис.72. При увеличении коэффициента усиления САУ K каждая точка ее АФЧХ удаляется от начала координат, пока при некотором значении K крит АФЧХ не пересечет точку (-1, j0 ). При дальнейшем увеличении K , САУ будет неустойчива. И наоборот, при уменьшении K такую САУ в принципе возможно сделать устойчивой, поэтому ее называют структурно устойчивой .
Если САУ астатическая, то при ее размыкании характеристическое уравнение можно представить в виде: pD 1 p(p) = 0 , где n - порядок астатизма , равный количеству последовательно включенных интеграторов. Это уравнение имеет нулевые корни, поэтому при 0 , АФЧХ стремится к (рис.71в и 71г). Например, пусть W р (p) = , здесь = 1 , тогда АФЧХ разомкнутой САУ:
W(j)
= 
= P()
+ jQ().
Так как порядок знаменателя больше порядка числителя, то при
0
имеем P()
-
,
Q()
-j
. Подобная
АФЧХ представлена на рис.73.
Так как АФЧХ терпит разрыв, трудно сказать, охватывает ли она точку (-1,j0) . В этом случае пользуются следующим приемом: если АФЧХ терпит разрыв, уходя в бесконечность при 0 , ее дополняют мысленно полуокружностью бесконечного радиуса, начинающейся на положительной вещественной полуоси и продолжающейся до АФЧХ в отрицательном направлении. После этого можно применить критерий Найквиста. Как видно из рисунка, САУ, имеющая одно интегрирующее звено, является структурно устойчивой.
Если САУ имеет два интегрирующих звена (порядок астатизма = 2 ), ее АФЧХ уходит в бесконечность во втором квадранте (рис.74). Например, пусть W р (p) = , тогда АФЧХ САУ:
W(j) = = P() + jQ().
При 0 имеем P() -, Q() + j. Такая САУ не будет устойчива ни при каких значениях параметров, то есть она структурно неустойчива.
Структурно неустойчивую САУ можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья (например, дифференцирующие или форсирующие) или изменив структуру САУ, например, с помощью местных обратных связей.
10.2. Понятие запаса устойчивости
В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать САУ так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости .
Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой САУ от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс (рис.75).
Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.
Как уже отмечалось, с ростом коэффициента
передачи разомкнутой САУ растет модуль каждой точки АФЧХ и при некотором значении
K = K кр
АФЧХ пройдет через критическую
точку (рис.76) и попадет на границу устойчивости, а при K > K кр
замкнутая САУ станет неустойчива. Однако в случае “клювообразных” АФЧХ (получаются
из-за наличия внутренних обратных связей) не только увеличение, но и уменьшение
K
может привести к потере устойчивости замкнутых САУ (рис.77). В этом
случае запас устойчивости определяется двумя отрезками h 1
и h 2
, заключенными между критической
точкой и АФЧХ.
Обычно при создании САУ задаются требуемыми запасами устойчивости h и , за пределы которых она выходить не должна. Эти пределы выставляются в виде сектора, вычерчиваемого вокруг критической точки, в который АФЧХ разомкнутой САУ входить не должна (рис.78).
10.3. Анализ устойчивости по ЛЧХ
Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой САУ. Очевидно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.
Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых САУ (1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи K 1 2 . Пусть первая САУ устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет.(рис.79).
Если W 1 (p) - передаточная функция первой САУ, то передаточная функция второй САУ W 2 (p) = KW 1 (p) , где K = K 2 /K 1 . Вторую САУ можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K (безынерционное звено) и W 1 (p) , поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев.
Поэтому ЛАЧХ второй САУ: L 2 () = 20lgK + L 1 () ,
а ЛФЧХ: 2 () = 1 () .
Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы = - . Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ = - линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитуды A 1 () 2 () > 1 , что соответствует на САЧХ значениям L 1 () = 20lgA 1 () 2 () > 0 .
Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ = - будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю h 1 и h 2 , определенным по АФЧХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где = - , но в логарифмическом масштабе.
Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты c1 и c2 , при которых это происходит называют частотами среза .
В точках пересечения A() = 1 = > L() = 0 - ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ c1 > - (рис.79а кривая 1), то замкнутая САУ устойчива. На рис.79б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии = - . И наоборот для неустойчивой замкнутой САУ (рис.79а кривая 2) c2 -, поэтому при = c2 ЛФЧХ проходит ниже линии = - . Угол 1 = c1 -(-) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии = - до ЛФЧХ.