Кто вывел теорему пифагора. Из истории теоремы пифагора. Задачи теоретические современные





Введение

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это

простота - красота - значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых

начал придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой.

Кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т. д.), свидетельствует о гигантском числе её конкретных реализаций.

В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Во времена Пифагора она звучала так: «Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» или «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

Цели и задачи

Основная цель работы состояла в том, чтобы показать значение теоремы Пифагора в развитие науки и техники многих стран и народов мира, а также в наиболее простой и интересной форме преподать содержание теоремы.

Основной метод, который использовали в работе, - это метод систематизации и обработки данных.

Привлекая информационные технологии, разнообра зили материал различными красочными иллюстрациями.

«ЗОЛОТЫЕ СТИХИ» ПИФАГОРА

Будь справедлив и в словах, и в поступках своих... Пифагор (ок. 570- ок. 500 гг. до н. э.)

Древнегреческий философ и математик, просла вившийся своим учением о космической гармонии и переселении душ. Предание приписывает Пифагору доказательство теоремы, носящей его имя. Многое в учении Платона восходит к Пифагору и его последова телям.

Письменных документов о Пифагоре Самосском, сыне Мнесарха, не осталось, а по более поздним свидетельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. (Электронная энциклопедия: Star World ) Известно, что Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у бере гов Малой Азии в знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте (по преданию в 40 лет) появился в греческом городе Кротоне на юге Италии. Пифагор и его последователи - пифагорейцы - образовали тайный союз, игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Ита лии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звёздчатому пятиугольнику - пентаграмме. Но Пифагору пришлось удалиться в Метапонт, где он и умер. Позднее, во второй половине V до н. э., его орден был разгромлен.

На учение Пифагора большое влияние оказала философия и рели гия Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной матема тикой.

Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тай на мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались как совершенные (6, 28, 496, 8128); дружественными называли пары чисел, из которых каждое равнялось сумме делителей дру гого (например, 220 и 284). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа. В его школе были подробно рассмотрены пифагоровы тройки натуральных чисел, у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов двух других (великая теорема Ферма).

Пифагору приписывается высказывание: «Все есть число». К числам (а он имел ввиду лишь натуральные числа) он хотел свести весь мир, и математику в частности. Но в самой школе Пифагора было сделано открытие, нарушавшее эту гармонию. Было доказано, что корень из 2 не является рациональным числом, т. е. не выражается через натуральные числа.

Естественно, что геометрия у Пифагора была подчинена арифметике. Это ярко проявилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов геометрии. (Позже Евклид вновь вывел на первое место геометрию, подчинив ей алгебру.) По-видимому, пифагорейцы знали правильные тела: тетраэдр, куб и додекаэдр.

Пифагору приписывают систематическое введение доказательств в геометрию, создание планиметрии прямолинейных фигур, учение о подо бии.

С именем Пифагора связывают учение об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях.

Следует заметить, что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг солнца. Когда в XVI веке церковь начала ожесточённо преследо вать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским. (Энциклопедический словарь юного математика: Э-68. А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1989, с. 28.)

Некоторые фундаментальные концепции, несомненно, принадлежат самому Пифагору. Первая из них - представление о космосе как о матема тически упорядоченном целом. Пифагор пришел к нему после того, как открыл, что основные гармонические интервалы, т. е. октава, чистая квинта и чистая кварта, возникают, когда длины колеблющихся струн относятся как 2:1, 3:2 и 4:3 (легенда гласит, что открытие было сделано, когда Пифагор проходил мимо кузницы: имевшие разную массу наковальни порождали при ударе соответствующие соотношения звучаний) . Усмот рев аналогию между упорядоченностью в музыке, выражаемой открытыми им отношениями, и упорядоченностью материального мира, Пифагор пришел к заключению, что математическими соотношениями пронизан весь космос. Попытка применить математические открытия Пифагора к умозрительным физическим построениям приводила к любопытным ре зультатам. Так, предполагалось, что каждая планета при своем обращении вокруг Земли издает, проходя сквозь чистый верхний воздух, или «эфир», тон определенной высоты. Высота звука меняется в зависимости от скоро сти движения планеты, скорость же зависит от расстояния до Земли. Слива ясь, небесные звуки образуют то, что получило название «гармонии сфер», или «музыки сфер», ссылки на которую нередки в европейской литературе.

Ранние пифагорейцы считали, что Земля плоская и находится в центре космоса. Позднее они стали считать, что Земля имеет сферическую форму и вместе с другими планетами (к числу которых они относили Солнце) обра щается вокруг центра космоса, т. е. «очага».

В античности Пифагор был известен более всего как проповедник оп ределенного образа жизни. Центральным в его учении было представле ние о реинкарнации (переселении душ), что, разумеется, предполагает способность души переживать смерть тела, а значит ее бессмертие. Поскольку в новом воплощении душа может переселиться в тело животного, Пифагор был противником умерщвления животных, употребления в пищу их мяса и даже заявлял, что не следует иметь дело с теми, кто забивает животных или разделывает их туши. Насколько можно судить по сочинениям Эмпедокла, разделявшего религиозные воззрения Пифагора, пролитие крови рассматривалось здесь в качестве первородного греха, за который душа изгоняется в бренный мир, где она блуждает, будучи заключена то в одно, то в другое тело. Душа страстно желает освобождения, но по невежеству неизменно повторяет греховное деяние.

Избавить душу от нескончаемой череды перевоплощений может очищение. Простейшее очищение заключается в соблюдении некоторых запретов (например, воздержание от опьянения или от употребления в пищу бобов) и правил поведения (например, почитание старших, законопослушание и негневливость).

Пифагорейцы высоко ценили дружбу, и по их понятиям все имущество друзей должно быть общим. Немногим избранным предлагалась высшая форма очищения - философия, т. е. любовь к мудрости, а значит стремление к ней (слово это, как утверждает Цицерон, было впервые употреблено Пифагором, который назвал себя именно не мудрецом, а любителем мудрости). С помощью этих средств душа приходит в соприкосновение с принципами космического порядка и становится им созвучной, она освобождается от своей привязанности к телу, его беззаконных и не упорядоченных желаний. Математика - одна из составных частей религии пифагорейцев, которые учили, что Бог положил число в основу мирового порядка.

Влияние пифагорейского братства в первой половине V в. до н. э. не прерывно возрастало. Но его стремление отдать власть «наилучшим» пришло в конфликт с подъемом демократических настроений в греческих городах южной Италии, и вскоре после 450 г. до н. э. в Кротоне вспыхнуло восстание против пифагорейцев, которое привело к убийству и изгнанию многих, если не всех, членов братства. Впрочем, еще в IV в. до н. э. пифаго рейцы пользовались влиянием в южной Италии, а в Таренте, где жил друг Платона Архит, оно сохранялось еще дольше. Однако куда важнее для истории философии было создание пифагорейских центров в самой Греции, например в Фивах, во второй половине V в. до н. э. Отсюда пифагорейские идеи проникли в Афины, где, если верить платоновскому диалогу Федон, они были усвоены Сократом и превратились в широкое идейное движение, начатое Платоном и его учеником Аристотелем.

В последующие столетия фигура самого Пифагора была окружена
множеством легенд: его считали перевоплощенным богом Аполлоном,
полагали, что у него было золотое бедро, и он был способен преподавать в
одно и то же время в двух местах. Отцы раннехристианской церкви ответ
ли Пифагору почетное место между Моисеем и Платоном. Еще в XVI в[
были нередки ссылки на авторитет Пифагора в вопросах не только науки |.:
но и магии. (Электронная энциклопедия: Star World .).

За легендой - истина

Открытие теоремы Пифагора окружено ореолом красивых легенда Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого принес в жертву быка». Легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через 2000 лет продолжала вызывать горячие от клики. Так, оптимист Михайло Ломоносов писал: «Пифагор за изобретение одного геометриче ского правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».

А вот ироничный Ген рих Гейне видел развитие той же ситуации не сколько иначе : « Кто знает ! Кто знает ! Возможно , душа Пифа гора переселилась в беднягу кандидата , который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из - за этого на экзаменах , тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков , которых Пифагор , обрадованный открытием своей теоремы , принес в жертву бессмертным богам ».

История открытия теоремы

Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI в. до н. э.). Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских рукописей (копий еще более древних манускриптов) показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетия до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое вни мание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Также теорема Пифагора была обнаружена и в древнекитайском трактате «Чжоу - би суань цзинь» («Математический трактат о гномоне»), время создания которого точно неизвестно, но где утверждается, что в XV в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а в XVI в. до н. э. - и общий вид теоремы.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 2 + 4 2 = 5 2 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э. во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при

помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м от одного конца и 4 м от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 м. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко вре мени Хаммурапи, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямо угольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуре чье умели производить вычисления с прямоугольными треугольника ми, по крайней мере, в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на крити ческом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голланд ский математик) сделал следующий вывод:

«Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецеп ты, основанные на смутных представлениях, превратились в точ ную науку».

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипо тенузы была известна в Индии уже около XVIII века до и. э., также о ней было известно и в древнеиндийском геометрическо- теологическом трактате VII - V вв. до н. э. «Сульва сутра» («Правила верёвки»).

Но несмотря на все эти доказательства, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невоз можно представить, что это словосочетание распадётся. То же от носится и к легенде о заклинании быков Пифагора. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем кра сивые древние предания.

Способы доказательства теоремы

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum - ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежа ли от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания и прозванные поэтому «ослами», были не в состоя нии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде не преодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», со ставляли стихотворения вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

а). Простейшее доказательство

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сна чала установлен для равнобедренных прямоугольников. Достаточно взглянуть на мозаику из чёрных и светлых треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольни ка ABC : квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника (рис. 1, 2).

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

При этом можно рассмотреть доказательства, в которых квад рат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного тре угольника, «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательст ва, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей.

На рис. 3 изображено два равных квадрата. Длина сторон каж дого квадрата равна а + Ь. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами а, Ъ, то останутся равные пло щади, т. е. с 2 = а 2 + Ь 2 . Впрочем, древние индусы, которым принад лежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «Смотри!». Вполне возможно, что та кое же доказательство предложил и Пифагор.


б). Доказательства методом достроения.

Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, постро енным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, при соединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились рав новеликие фигуры.

На рис. 4 изображена обычная Пифаго рова фигура прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены тре угольники 1 и 2, равные исходному прямо угольному треугольнику.

Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ . Здесь прямая ЕР де лит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая СМ делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра А отображает четырехугольник АЕРВ на четырехугольник ACMQ .

(Это доказательство впервые дал Леонар до да Винчи.)

Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого парал лельны соответствующим сторонам квадра тов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямо угольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямо угольники, получим квадраты, построенные на катетах.

Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае.

Это иллюстрирует доказательство, приведенное Нассир-эд-Дином (1594 г.). Здесь: PL - прямая;

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = СВМР = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = с 2 ;

отсюда с 2 = a 2 + b 2 .

Рис. 7 иллюстрирует доказательство, приведенное Гофманом (1821 г.). Здесь Пифагорова фигура построена так, что квадраты лежат по одну сторону от прямой AB . Здесь:

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML = CBNQ = а 2 ;

ОВМР = ABMF = с 2 ;

ОВМР = OCLP + CBML ;

Отсюда с 2 = а 2 + b.

Это иллюстрирует еще одно более ори гинальное доказательство, предложенное Гофманом. Здесь: треугольник ABC с пря мым углом С; отрезок BF перпендикулярен СВ и равен ему, отрезок BE перпендикулярен АВ и равен ему, отрезок AD перпендикуля рен АС и равен ему; точки F , С, D принадле жат одной прямой; четырехугольники ADFB и АСВЕ равновелики, так как ABF = ЕСВ; треугольники ADF и АСЕ равновелики;

отнимем от обоих равновеликих четырехуголь ников общий для них треугольник ABC , получим ½ a * a + ½ b * b – ½ c * c

в). Алгебраический метод доказательства.


Рисунок иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Ли-лавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) за нимает доказательство, использующее подо бие.

Историки считают, что Бхаскара выра жал площадь с 2 квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей четырёх треугольников 4(ав/2) и площади квадрата со стороной, равной разности катетов.

Приведем в современном изложении одно из таких доказа тельств, принадлежащих Пифагору.

I "

На рис. 10 АВС - прямоугольный, С - прямой угол, (CM L АВ) b - проекция катета b на гипотенузу, а - проекция катета а на гипо тенузу, h - высота треугольника, проведенная к гипотенузе. Из того что АВС подобен АСМ, следует b 2 = cb ; (1) из того что АВС подобен ВСМ, следует а 2 = СА (2) Складывая почленно равенства (1) и (2), получим а 2 + b 2 = cb + ca = = c (b + a ) = c 2 .

Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.

Доказательство Мёль- манна . Площадь дан ного прямоугольного треуголь ника, с одной стороны, равна 0,5 a * b , с другой 0,5* p *г, где p - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной в него ок ружности (г = 0,5-(а + в - с)). Имеем: 0,5*а*в - 0,5*р*г - 0,5 (а + в + с) * 0,5-(а + в - с), откуда следует, что с 2 = а 2 + b 2 .

г) Доказательство Гарфилда.

На рисунке 12 три пря моугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому .площадь этой фигуры можно. \ находить по формуле площа ди прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В пер вом случае эта площадь рав на 0,5 (а + в) (а + в), во вто ром - 0,5* a * b + 0,5*а* b + 0,5*с 2

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

Существует много доказательств теоремы Пифагора, проведен ных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочета ния различных методов. Завершая обзор примеров различных дока зательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь спосо бов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида (рис. 13 - 20). На этих рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной лини ей, а дополнительные построения - пунктирной.




Как уже было сказано выше, древние египтяне более 2000 лет тому назад практически пользовались свойствами треугольника со сторонами 3, 4, 5 для построения прямого угла, т. е. фактически применяли теорему, обратную теореме Пифагора. Приведем доказательство этой теоремы, основанное на признаке равенства треугольников (т. е. такое, которое можно очень рано ввести в школь ную практику). Итак, пусть стороны треугольника ABC (рис. 21) связаны соотношением с 2 = а 2 + b 2 . (3)

Докажем, что этот треугольник прямоугольный.

Построим прямоугольный треугольник A В С по двум катетам, длины которых равны длинам а и b катетов данного треугольника. Пусть длина гипотенузы построенного треугольника рав на c . Так как построенный треугольник прямоугольный, то по тео реме Пифагора имеем с = a + b (4)

Сравнивая соотношения (3) и (4), получаем, что с = с или с = с Таким образом, треугольники - данный и построенный - равны, так как имеют по три соответственно равные стороны. Угол С прямой, поэтому и угол С данного треугольника тоже прямой.

Аддитивные доказательства.

Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квад рат, построенный на гипотенузе.

Доказательство Эйнштейна (рис. 23) основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников.

Здесь: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; CO MN ; СК MN ; PO || MN ; EF || MN .

Самостоятельно докажите попар ное равенство треугольников, полу ченных при разбиении квадратов, по строенных на катетах и гипотенузе.

б) На основе доказательства ан-Найризия выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры (здесь ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С).

Также это доказательство называется «шарнирным», потому что здесь меняют своё положение только две части, равные исходному треугольнику, причём они как бы прикреплены к остальной фигуре на шарнирах, вокруг которых поворачиваются (рис. 25).

в) Еще одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями», приведено на рис. 26. Здесь: ABC - прямоугольный треугольник с прямым уг лом С, О - центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку О, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.

Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырёхугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом.

«Пифагоровы штаны» (доказательство Евклида).

В течение двух тысячелетий при меняли доказательство, придуманное Евклидом, которое помещено в его знаменитых «Началах». Евклид опус кал высоту ВН из вершины прямоугольного треугольника на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны

площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах. Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение по верхностно. Чертёж, применяемый при доказательстве теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Древнекитайское доказательство.

Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н. э. Дело в том, что в 213 г. до н. э. китайский император

Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н. э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается восстановление древних книг. Так возникла «Математика в девяти книгах» - главное из сохранившихся математико-астрономических сочине ний.

В 9-й книге «Математики» помещён чер тёж, доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно (рис. 27).

В самом деле, на древнекитайском чер теже четыре равных прямоугольных тре угольника с катетами а, в и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образу ет квадрат со стороной а + в, а внутренний - квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. 28).

Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушёванных треугольника уложить в два прямоугольника, то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны,

равна с, а с другой

а + Ь 2 , т. е. с 2 = а 2 + b

Теорема доказана.

Заметим, что при таком доказательстве

Построения внутри квадрата на гипотену зе, которые мы ви-
дим на древнекитайском чертеже, не используются (рис. 30). По-видимому, древнекитайские математики имели другое до казательство, а именно: если в квадрате со
стороной с два заштрихованных треуголь ника отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам, то легко обна ружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», со стоит из двух квадратов со сторонами а и Ь, т. е. с 2 = а 2 + Ь 2 .

На рисунке воспроизведён чер тёж из трактата «Чжоу-би...». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете - 16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.


Не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Даже те, кто в своей жизни далек от математики, продолжают сохранять воспоминания о "пифагоровых штанах" - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора ясна: это простота - красота - значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Противоречие двух начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение. Она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Существует около пятисот различных доказательств этой теоремы, что свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

Исторические исследования датируют появление на свет Пифагора приблизительно 580 годом до нашей эры. Счастливый отец Мнесарх окружает мальчика заботами. Возможности дать сыну хорошее воспитание и образование у него были.

Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из "Одиссеи" и "Илиады". Первый учитель прививал юному Пифагору любовь к природе и ее тайнам.

Прошло несколько лет, и по совету своего учителя Пифагор решает продолжить образование в Египте. При помощи учителя Пифагору удается покинуть остров Самос. Но пока до Египта далеко. Он живет на острове Лесбос у своего родственника Зоила. Там происходит знакомство Пифагора с философом Ферекидом - другом Фалеса Милетского. У Ферекида Пифагор учится астрологии, предсказанию затмений, тайнам чисел, медицине и другим обязательным для того времени наукам.

Затем в Милете он слушает лекции Фалеса и его более молодого коллеги и ученика Анаксимандра, выдающегося географа и астронома. Много важных знаний приобрел Пифагор за время своего пребывания в Милетской школе.

Перед Египтом он на некоторое время останавливается в Финикии, где, по преданию, учится у знаменитых сидонских жрецов.

Согласно старинным легендам, в плену в Вавилоне Пифагор встречался с персидскими магами, приобщился к восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейских мудрецов. Халдеи познакомили Пифагора со знаниями, накопленными восточными народами в течение многих веков: астрономией и астрологией, медициной и арифметикой.

Двенадцать лет пробыл в вавилонском плену Пифагор, пока его не освободил персидский царь Дарий Гистасп, прослышавший о знаменитом греке. Пифагору уже шестьдесят, он решает вернуться на родину, чтобы приобщить к накопленным знаниям свой народ.

С тех пор как Пифагор покинул Грецию, там произошли большие изменения. Лучшие умы, спасаясь от персидского ига, перебрались в Южную Италию, которую тогда называли Великой Грецией, и основали там города-колонии Сиракузы, Агригент, Кротон. Здесь и задумывает Пифагор создать собственную философскую школу.

Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Пифагор умело использует знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую "пифагорейскую гамму" и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи "гармонии мира" и "музыки сфер", впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора.

Многое сделал ученый и в геометрии. Прокл так оценивал вклад греческого ученого в геометрию: "Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел".

В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически - как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию.

Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. С рождением же математики зарождается и наука вообще, ибо "ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства" (Леонардо да Винчи).

Так вот, заслуга Пифагора и состояла в том, что он, по-видимому, первым пришел к следующей мысли: в геометрии, во-первых, должны рассматриваться абстрактные идеальные объекты, и, во-вторых, свойства этих идеальных объектов должны устанавливаться не с помощью измерений на конечном числе объектов, а с помощью рассуждений, справедливых для бесконечного числа объектов. Эта цепочка рассуждений, которая с помощью законов логики сводит неочевидные утверждения к известным или очевидным истинам, и есть математическое доказательство.

Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение 1 книги "Начал" , пишет: "Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка". Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.

Вокруг да около

История теоремы Пифагора уходит в века и тысячелетия. В этой статье, мы не будем подробно останавливаться на исторических темах. Для интриги, скажем только, что, по-видимому, эту теорему знали еще древне-египетские жрецы, жившие более 2000 лет до нашей эры. Для тех, кому любопытно, вот ссылка на статью в Википедии .

Прежде всего, хочется для полноты изложения привести здесь доказательство теоремы Пифагора, которое, по моему мнению, наиболее элегантно и очевидно. На рисунке выше изображено два одинаковых квадрата: левый и правый. Из рисунка видно, что слева и справа площади закрашенных фигур равны, так как в каждом из больших квадратов закрашено по 4 одинаковых прямоугольных треугольника. А это означает, что и незакрашенные (белые) площади слева и справа тоже равны. Замечаем, что в первом случае площадь незакрашенной фигуры равна , а во втором - площадь незакрашенной области равна . Таким образом, . Теорема доказана!

Как же назвать эти числа? Треугольниками не назовешь, ведь четыре числа никак не могут образовать треугольник. И тут! Как гром среди ясного неба

Раз есть такие четверки чисел, значит должен быть геометрический объект с такими же свойствами, отраженными в этих числах!

Теперь осталось только подобрать какой-то геометрический объект под это свойство, и все встанет на свои места! Конечно, предположение было чисто гипотетическое, и никакого подтверждения под собой не имело. Но что если это так!

Начался перебор объектов. Звезды, многоугольники, правильные, неправильные, с прямым углом и так далее и тому подобное. Опять ничего не подходит. Что делать? И в этот момент Шерлок получает свою вторую зацепку.

Надо повысить размерность! Раз тройке соответствуют треугольник на плоскости, значит четверке соответствует нечто трехмерное!

О нет! Опять перебор вариантов! А в трехмерии гораздо, гораздо больше всевозможных геометрических тел. Попробуй перебрать их все! Но не все так плохо. Есть же еще прямой угол и другие зацепки! Что мы имеем? Египетские четверки чисел (пусть будут египетские, надо же их как-то называть), прямой угол (или углы) и некий трехмерный объект. Дедукция сработала! И… Полагаю, что догадливые читатели уже поняли, что речь идет о пирамидах, у которых при одной из вершин все три угла - прямые. Можно даже назвать их прямоугольными пирамидами по аналогии с прямоугольным треугольником.

Новая теорема

Итак, у нас есть все что нужно. Прямоугольные (!) пирамиды, боковые грани-катеты и секущая грань-гипотенуза . Пришло время нарисовать еще одну картинку.


На картинке изображена пирамида с вершиной в начале прямоугольных координат (пирамида как бы лежит на боку). Пирамида образована тремя взаимно-перпендикулярными векторами, отложенными из начала координат вдоль координатных осей. То есть каждая боковая грань пирамиды - это прямоугольный треугольник с прямым углом при начале координат. Концы векторов определяют секущую плоскость и образуют грань-основание пирамиды.

Теорема

Пусть есть прямоугольная пирамида, образованная тремя взаимно-перпендикулярными векторами , у которой площади граней-катетов равны - , и площадь грани-гипотенузы - . Тогда

Альтернативная формулировка: У четырехгранной пирамиды, у которой при одной из вершин все плоские углы прямые, сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания.

Разумеется, если обычная теорема Пифагора формулируется для длин сторон треугольников, то наша теорема формулируется для площадей сторон пирамиды. Доказать эту теорему в трех измерениях очень просто, если вы немного знаете векторную алгебру.

Доказательство

Выразим площади через длины векторов .

где .

Площадь представим как половину площади параллелограмма, построенного на векторах и

Как известно, векторное произведение двух векторов - это вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Поэтому

Таким образом,

Что и требовалось доказать!

Конечно, как у человека, профессионально занимающегося исследованиями, подобное в моей жизни уже случалось, и не раз. Но этот момент был самым ярким и самым запоминающимся. Я испытал полную гамму чувств, эмоций, переживаний первооткрывателя. От зарождения мысли, кристализации идеи, нахождения доказательства - до полного непонимания и даже неприятия, которое встретили мои идеи у моих друзей, знакомых и, как мне тогда казалось, у целого мира. Это было уникально! Я словно почувствовал себя в шкуре Галлилея, Коперника, Ньютона, Шредингера, Бора, Эйнштейна и многих многих других открывателей.

Послесловие

В жизни, все оказалось гораздо проще и прозаичнее. Я опоздал… Но на сколько! Всего-то навсего 18 лет! Под страшными продолжительными пытками и не с первого раза Гугл признался мне, что эта теорема была опубликована в 1996 году!

Статья опубликована издательством Техасского технического университета. Авторы, профессиональные математики, ввели терминологию (которая, кстати, во многом совпала с моей) и доказали также и обобщенную теорему справедливую для пространства любой размерности большей единицы. Что же произойдет в размерностях более высоких, чем 3? Все очень просто: вместо граней и площадей будут гиперповерхности и многомерные объемы. А утверждение, конечно, останется все тем же: сумма квадратов объемов боковых граней равна квадрату объема основания, - просто количество граней будет больше, а объем каждой из них станет равен половине произведения векторов-образующих. Вообразить это почти невозможно! Можно только, как говорят философы, помыслить!

Что удивительно, узнав о том, что такая теорема уже известна, я ничуть не расстроился. Где-то в глубине души я подозревал, что вполне возможно, я был не первый, и понимал, что нужно быть всегда к этому готовым. Но тот эмоциониальный опыт, который я получил, зажег во мне искру исследователя, которая, я уверен, теперь уже не угаснет никогда!

P.S.

Эрудированный читатель в комментариях прислал ссылку
Теорема де Гуа

Выдержка из Википедии

В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук французским математиком Ж.-П. де Гуа, однако ранее она была известна Рене Декарту и до него Иоганну Фульгаберу (англ.), который, вероятно, первым открыл её в 1622 году. В более общем виде теорему сформулировал Шарль Тинсо (фр.) в докладе Парижской академии наук в 1774 году

Так что я опоздал не на 18 лет, а как минимум на пару веков!

Источники

Читатели указали в комментариях несколько полезных ссылок. Вот эти и некоторые другие ссылки:

Министерство образования и науки РФ

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Леботёрская основная общеобразовательная школа

Чаинский район Томская область

РЕФЕРАТ

по теме: Пифагор и его теорема

Выполнили:

ученицы 8 класса

Пчелкина Ирина

Макарова Надежда

Руководитель:

Стасенко В.К.,

учитель математики

Введение…………………………………..…………………………………….. 3

1. Из биографии Пифагора …………………………………………………..3

2. Пифагор и пифагорийцы …………………………………………………. …4

3. Из истории создания теоремы …………………………………………….. ..5

4. Шесть доказательств теоремы ……………………………………………….6

4.1. Древнекитайское доказательство ……………………………………… 6

4.2. Доказательство Дж. Гардфилда ……………………………………… 7.

4.3 Доказательство старейшее …………………………………………….. 8.

4.4. Доказательство простейшее …………………………………………… 9

4.5 Доказательство древних …………………………………………………10

4.6. Доказательство Евклида ………………………………………………..11.

5. Применение теоремы Пифагора …………………………………………… 12

5.1. Задачи теоретические …………………………………………………..13

5.2. Задачи практические (старинные) …………………………………… 14

Заключение ………………………………………………………………………15

Список литературы …………………………………………………………… 16

ВВЕДЕНИЕ

В этом учебном году мы познакомились с интересной теоремой, известной, как оказалось с древнейших времён:

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов построенных на катетах».

Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до н.э). Но изучение древних рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора.

Мы заинтересовались, почему в таком случае её связывают с именем Пифагора.

Целью нашего исследования было: узнать, кто такой был Пифагор и какое отношение он имеет к этой теореме. Изучая историю теоремы, мы решили выяснить:

o Существуют ли другие доказательства этой теоремы?

o Каково значение этой теоремы в жизни людей?

o Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики?

1. Из биографии Пифагора

Пифагор Самосский – великий греческий учёный. Его имя знакомо каждому школьнику. Если попросят назвать одного древнего математика, то абсолютное большинство назовёт Пифагора. Его известность связана с названием теоремы Пифагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта теорема была известна в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, мы по-прежнему называем её по имени этого древнего учёного.

Про жизнь Пифагора достоверно почти ничего не известно, но с его именем связано большое количество легенд.

Пифагор родился в 570 году до н. э на острове Самос. Отцом Пифагора был Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Мнесарх, по словам Апулея, «славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы», но стяжал скорее славу, чем богатство. Имя матери Пифагора не сохранилось.

Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".)

Среди учителей юного Пифагора были старец Гермодамант и Ферекид Сиросский (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера.

Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя.

Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес посоветовал ему отправиться за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.

В 550 году до н. э Пифагор принимает решение и отправляется в Египет. Итак, перед Пифагором открывается неизвестная страна и неведомая культура. Многое поражало и удивляло Пифагора в этой стране, и после некоторых наблюдений за жизнью египтян Пифагор понял, что путь к знаниям, охраняемым кастой жрецов, лежит через религию.

Вместе с египетскими мальчиками сел за известняковые пластинки и он, возмужалый Эллин с черной курчавой бородой. Но в отличие от своих меньших сотоварищей уши бородатого Эллина были не на спине, да и голова стояла на месте. Очень скоро Пифагор далеко обогнал своих однокашников. Но школа писцов была лишь первой ступенью на пути к тайному знанию.

После одиннадцати лет обучения в Египте Пифагор отправляется на родину, где по пути попадает в Вавилонский плен. Там он знакомится с вавилонской наукой, которая была более развита, чем египетская. Вавилоняне умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Они успешно применяли теорему Пифагора более чем за 1000 лет до Пифагора. Сбежав из плена, он не смог долго оставаться на родине из-за царившей там атмосферы насилия и тирании. Он решил переселиться в Кротон (греческая колония на севере Италии).

Именно в Кротоне начинается самый славный период в жизни Пифагора. Там он учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни.

2. Пифагор и пифагорейцы

Пифагор организовал в греческой колонии на юге Апенинского полуострова религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, который впоследствии назовут пифагорейским союзом. Члены союза должны были придерживаться определённых принципов: во-первых, стремиться к прекрасному и славному, во-вторых, быть полезными, в-третьих, стремиться к высокому наслаждению.

Система морально-этических правил, завещанная Пифагором своим ученикам, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев «Золотые

стихи», которые пользовались большой популярностью в эпоху Античности, эпоху Средневековья и эпоху Возрождения. Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов:

· учения о числах – арифметике,

· учения о фигурах – геометрии,

· учения о строении Вселенной – астрономии.

Система образования, заложенная Пифагором, просуществовала много веков.

Пифагорейцы учили, что Бог положил числа в основу мирового порядка. Бог – это единство, а мир – множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет всё в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых выражениях. Кто до конца изучит гармонию, сам станет божественным и бессмертным.

Музыка, гармония и числа были неразрывно связаны в учении пифагорейцев. Математика и числовая мистика были фантастически перемешаны в нём. Пифагор считал, что число есть сущность всех вещей и что Вселенная представляет собой гармоническую систему чисел и их отношений.

Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно, подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: "По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй".

Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что "поставил арифметику выше интересов торговца".

Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд.

Учение пифагорейцев о движении Земли Николай Коперник воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения. Недаром церковь объявила систему Коперника "ложным пифагорейским учением".

В школе Пифагора открытия учеников приписывались учителю, поэтому практически невозможно определить, что сделал сам Пифагор, а что его ученики.

Споры ведутся вокруг пифагорейского союза уже третье тысячелетие, однако общего мнения так и нет. У пифагорейцев было множество символов и знаков, которые были своего рода заповедями: например, «через весы не шагай», т.е. не нарушай справедливости; огня ножом не вороши», т. е. не задевай гневных людей обидными словами.

Но главным пифагорейским символом -

символом здоровья и опознавательным знаком –

была пентаграмма или пифагорейская звезда –

звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями

правильного пятиугольника.

Членами пифагорейского союза были жители многих городов Греции.

В своё общество пифагорейцы принимали и женщин. Союз процветал более двадцати лет, а потом начались гонения на его членов, многие из учеников были убиты.

О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.

3. Из истории теоремы Пифагора

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду.

Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет немецкого писателя-романиста Шамиссо:

Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4" .

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого.

Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора, гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.

Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.

В заключение приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннариции (около 900 года до нашей эры), сделанный Герхардом Кремонским (12 век) гласит (в переводе):

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

В Geometry Culmonensis (около 1400года) теорема читается так (в переводе):

“Итак, площадь квадрата, измеренного по длиной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу”

В русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так:

«В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.

4. Шесть способов доказательства теоремы Пифагора

4.1. Древнекитайское доказательство

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a , b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a + b , а внутренний – квадрат со стороной с , построенный на гипотенузе

a 2 + 2ab +b 2 = c 2 + 2ab

a 2 +b 2 = c 2

4.2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.

Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

Приравнивая данные выражения, получаем:

или с 2 = a 2 + b 2

4.3. Старейшее доказательство

(содержится в одном из произведений Бхаскары).

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а,

Пусть СК ВЕ = а, DL CK, AM DL

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит KL = LM = ME = EK = a-b.

4.4. Доказательство простейшее

4.5. Доказательство древних индусов [ 2]

Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е. с 2 = а 2 + b 2 .

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом:

Смотри!

4.6. Доказательство Евклида

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

5. Применение теоремы Пифагора.

5.1. Задачи теоретические современные

1. Периметр ромба 68 см., а одна из его диагоналей равна 30 см. Найдите длину другой диагонали ромба.

2. Гипотенуза КР прямоугольного треугольника КМР равна см., а катет МР равен 4 см. Найдите медиану РС.

3. На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты, причем

S 1 -S 2 =112 см 2 , а S 3 =400 см 2 . Найдите периметр треугольника.

4. Дан треугольник АВС, угол С=90 0 , CD AB, AC=15 см., AD=9 см.

Найдите АВ.

5.2. Задачи практические старинные

5. Для крепления мачты нужно установить

4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

6. Задача индийского математика XII века Бхаскары

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

7. Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого [ 19]

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.

И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

8. Задача из китайской "Математики в девяти книгах"

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"

Заключение

Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней. Мы изучили ряд исторических и математических источников, в том числе информацию в Интернете, и увидели, что теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют приведённые нами в данной работе различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств.

Итак, теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c 2 =a 2 +b 2 . Поэтому для её доказательства часто используют наглядность.

Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы.

Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор – замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.

Литература и Интернет-ресурсы:

1. Г.И. Глейзер История математики в школе VII – VIII классы, пособие для учителей, - М: Просвещение 1982г.

2. И.Я. Демпан, Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики» Пособие для учащихся 5-6 классов, Москва, Просвещение 1989г.

3. И.Г. Зенкевич «Эстетика урока математики», М.: Просвещение 1981г.

4. Войтикова Н.В. «Теорема Пифагора» курсовая работа, Анжеро-Судженск, 1999г.

5. В. Литцман.Теорема Пифагора, М. 1960.

6. А.В. Волошинов «Пифагор» М. 1993.

7. Л. Ф. Пичурин «За страницами учебника алгебры» М. 1990.

8. А. Н. Земляков «Геометрия в 10 классе» М. 1986.

9. В. В. Афанасьев «Формирование творческой активности студентов в процессе решения математических задач» Ярославль 1996.

10. П. И. Алтынов «Тесты. Геометрия 7 – 9 кл.» М. 1998.

11. Газета «Математика» 17/1996.

12. Газета «Математика» 3/1997.

13. Н. П. Антонов, М. Я. Выгодский, В. В Никитин, А. И. Санкин «Сборник задач по элементарной математики». М. 1963.

14. Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов «Пособие по математике». М. 1973

15. А. И. Щетников “ Пифагорейское учение о числе и величине “. Новосибирск 1997.

16. «Действительные числа. Иррациональные выражения» 8 класс. Издательство Томского университета. Томск – 1997.

17. М.С. Атанасян “Геометрия” 7-9 класс. М: Просвещение, 1991

18. www.moypifagor .narod.ru/

19. http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html

20. http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора

21. http://th-pif.narod.ru/history.htm

Привиденцев Владислав, Фарафонова Екатерина

Проектная работа учащихся к математической конференции

Скачать:

Предварительный просмотр:

БОУ ТР ОО «Троснянская средняя общеобразовательная школа»

Ученическая математическая конференция, посвященная великому математику Пифагору

(в рамках Недели математики в школе)

История теоремы Пифагора

(проект)

Подготовили

учащиеся 9 б класса

Фарафонова Екатерина и Привиденцев Владислав

Учитель Билык Т.В.

Январь – 2016г.

Цели:

  • 1.Расширить свои знания по истории математики.
  • 2.Познакомиться с биографическими фактами из жизни Пифагора, связанными с теоремой.
  • 3.Изучить историю теоремы Пифагора через мифы, легенды древности.
  • 4.Рассмотреть применение теоремы Пифагора при решении задач из различных разделов геометрии.

План.

1.Введение

2. Из истории теоремы

3. Стихи о Пифагоре

4. Итог

5. Заключение

Введение.

Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий учёный lll в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов.

Поэт Генрих Гейне(1797-1856), известный своими антирелигиозными взглядами и язвительными насмешками над суевериями, в одном из своих произведений высмеивает «учение» о переселении душ следующим образом:

«Кто знает! Кто знает! Душа Пифагора поселилась, быть может, бедняку - кандидата, не сумевшего доказать теоремы Пифагора и поэтому провалившегося на экзамене, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех самых быков, которых некогда Пифагор принес в жертву бессмертным богам, обрадованный открытием своей теоремы». История Пифагоровой теоремы начинается задолго до Пифагора. На протяжении веков были даны многочисленные разные доказательства теоремы Пифагора.

Из истории теоремы

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

  • Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 32 + 42 = 52 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.
  • Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян . В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби , т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку." Геометрия у индусов , как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.
  • В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол". В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает, даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков.
  • Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна и названа ее потому «теоремой Пифагора». Это название сохранилось поныне. Однако в настоящее время установлено, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора.
  • О том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольник, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые, вероятно пользовались этим отношением для построения прямых углов при сооружении зданий. В Китае предложение о квадрате гипотенузы было известно, по крайней мере, за 500 лет до Пифагора. Эта теорема была известна и в Древней,Индии; об этом свидетельствуют предложения, содержащиеся в «Сутрах».

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя. Действительно, в современных учебниках теорема сформулирована так: "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". - Как записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС с катетами а , b и гипотенузой с.

а 2 + b 2 = с 2

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: "Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах". Действительно, с 2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а 2 и b 2 – площади квадратов, построенных на катетах.

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка 9 видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Стихи о Пифагоре.
Немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале Xl X в. Участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик», написал следующие стихи:
Пребудет вечной истина, как скоро
Её познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и его далёкий век.
Обильно было жертвоприношение
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, её почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор

Подводим итог:
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим
И таким простым путём
К результату мы придём.

Приближается зачёт по геометрии, а на зачётах и экзаменах иногда бывают случаи, когда ученики, вытянув билет, помнят формулировку теоремы, но забывают с чего начать доказательство. Чтобы этого не произошло с вами, предлагаю рисунок – опорный сигнал. Думаю, он надолго останется в вашей памяти.

Отрубил Иван-царевич дракону голову, а у него две новые выросли. На математическом языке это означает: провели в Δ АВС высоту CD , и образовалось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC .

Заключение.

После изучения построенного материала можно заключить, что теорема Пифагора - одна из самых главных теорем геометрии потому, что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Пифагор и школа Пифагора сыграли большую роль в усовершенствовании методов решения научных проблем: в математику твёрдо вошло положение о необходимости строгих доказательств, что и придало ей значение особой науки.

Рекомендуем почитать