Модель простой линейной регрессии. Простая линейная регрессия По каким показателям выбирается наилучшая модель регрессии

Если функция регрессии линейная, то говорят о линейной регрессии . Линейная регрессия находит весьма широкое применение в эконометрике в связи с четкой экономической интерпретации ее параметров. Кроме того, построенное линейное уравнение может служить начальной точкой эконометрического анализа.

Простая линейная регрессия представляет собой линейную функцию между условным математическим ожиданием зависимой переменной и одной зависимой переменной X (x i – значения зависимой переменной в i -ом наблюдении):

. (5.5)

Для отражения того факта, что каждое индивидуальное значение y i отклоняется от соответствующего условного математического ожидания, необходимо ввести в соотношение (5.5) случайное слагаемое e i :

. (5.6)

Это соотношение называется теоретической линейной регрессионной моделью ; b 0 и b 1 – теоретическими коэффициентами регрессии . Таким образом, индивидуальные значения y i представляют в виде двух компонент – систематической () и случайной (e i ). В общем виде теоретическую линейную регрессионную модель будем представлять в виде

. (5.7)

Основная задача линейного регрессионного анализа состоит в том, чтобы по имеющимся статистическим данным для переменных X и Y получить наилучшие оценки неизвестных параметров b 0 и b 1 . По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое линейное уравнение регрессии :

где – оценка условного математического ожидания , b 0 и b 1 – оценки неизвестных параметров b 0 и b 1 , называемые эмпирическими коэффициентами регрессии . Следовательно, в конкретном случае

, (5.9)

где отклонение e i – оценка теоретического случайного отклонения e i .

Задача линейного регрессионного анализа состоит в том, чтобы по конкретной выборке (x i ,y i ) найти оценки b 0 и b 1 неизвестных параметров b 0 и b 1 так, чтобы построенная линия регрессии была бы наилучшей в определенном смысле среди всех других прямых. Другими словами, построенная прямая должна быть «ближайшей» к точкам наблюдений по их совокупности. Мерами качества найденных оценок могут служить определенные композиции отклонений e i . Например, коэффициенты b 0 и b 1 эмпирического уравнения регрессии могут быть оценены исходя из условия минимизации функции потерь (loss function) : . Например, функции потерь могут быть выбраны в следующем виде:

;

Самым распространенным и теоретически обоснованным является метод нахождения коэффициентов, при котором минимизируется первая сумма. Он получил название метод наименьших квадратов (МНК) . Этот метод оценки является наиболее простым с вычислительной точки зрения. Кроме того, оценки коэффициентов регрессии, найденные МНК при определенных предпосылках, обладают рядом оптимальных свойств. Хорошие статистические свойства метода, простота математических выводов делают возможным построить развитую теорию, позволяющую провести тщательную проверку различных статистических гипотез. Минусы метода – чувствительность в «выбросам».

Метод определения оценок коэффициентов из условия минимизации второй суммы называется методом наименьших модулей . Этот метод обладает определенными достоинствами, например, по сравнению с методом наименьших квадратов он нечувствителен к выбросам (обладает робастностью). Однако у него имеются существенные недостатки. В первую очередь это связано со сложностью вычислительных процедур. Во-вторых, с неоднозначностью метода, т.е. разным значениям коэффициентов регрессии могут соответствовать одинаковые суммы модулей отклонений.

Метод минимизации максимума модуля отклонения наблюдаемого значения результативного показателя y i от модельного значения называется методом минимакса , а получаемая при этом регрессия минимаксной .

Среди других методов оценивания коэффициентов регрессии отметим метод максимального правдоподобия (ММП) .

Модель линейной регрессии является часто используемой и наиболее изученной в эконометрике . А именно изучены свойства оценок параметров, получаемых различными методами при предположениях о вероятностных характеристиках факторов, и случайных ошибок модели. Предельные (асимптотические) свойства оценок нелинейных моделей также выводятся исходя из аппроксимации последних линейными моделями. Необходимо отметить, что с эконометрической точки зрения более важное значение имеет линейность по параметрам , чем линейность по факторам модели.

Регрессионная модель

где — параметры модели, — случайная ошибка модели, называется линейной регрессией, если функция регрессии имеет вид

где — параметры (коэффициенты) регрессии, — регрессоры (факторы модели), k — количество факторов модели.

Коэффициенты линейной регрессии показывают скорость изменения зависимой переменной по данному фактору, при фиксированных остальных факторах (в линейной модели эта скорость постоянна):

Параметр , при котором нет факторов, называют часто константой . Формально — это значение функции при нулевом значении всех факторов. Для аналитических целей удобно считать, что константа — это параметр при «факторе», равном 1 (или другой произвольной постоянной, поэтому константой называют также и этот «фактор»). В таком случае, если перенумеровать факторы и параметры исходной модели с учетом этого (оставив обозначение общего количества факторов — k), то линейную функцию регрессии можно записать в следующем виде, формально не содержащем константу:

где — вектор регрессоров, — вектор-столбец параметров (коэффициентов).

Линейная модель может быть как с константой, так и без константы. Тогда в этом представлении первый фактор либо равен единице, либо является обычным фактором соответственно

Проверка значимости регрессии

Критерий Фишера для регрессионной модели отражает, насколько хорошо эта модель объясняет общую дисперсию зависимой переменной. Расчет критерия выполняется по уравнению:

где R - коэффициент корреляции;
f 1 и f 2 - число степеней свободы.
Первая дробь в уравнении равна отношению объясненной дисперсии к необъясненной. Каждая из этих дисперсий делится на свою степень свободы (вторая дробь в выражении). Число степеней свободы объясненной дисперсии f 1 равно количеству объясняющих переменных (например, для линейной модели вида Y=A*X+B получаем f 1 =1). Число степеней свободы необъясненной дисперсии f 2 = N -k -1, где N -количество экспериментальных точек, k -количество объясняющих переменных (например, для модели Y=A*X+B подставляем k =1).
Еще один пример:
для линейной модели вида Y=A 0 +A 1 *X 1 +A 2 *X 2 , построенной по 20 экспериментальным точкам, получаем f 1 =2 (две переменных X 1 и X 2), f 2 =20-2-1=17.
Для проверки значимости уравнения регрессии вычисленное значение критерия Фишера сравнивают с табличным , взятым для числа степеней свободы f 1 (бóльшая дисперсия) и f 2 (меньшая дисперсия) на выбранном уровне значимости (обычно 0.05). Если рассчитанный критерий Фишера выше, чем табличный, то объясненная дисперсия существенно больше, чем необъясненная, и модель является значимой.

Коэффициент корреляции и F -критерий, наряду с параметрами регрессионной модели, как правило, вычисляются в алгоритмах, реализующих

С помощью метода наименьших квадратов.

Регрессионная модель объединяет широкий класс универсальных функций, которые описывают некоторую закономерность. При этом для построения модели в основном используются измеряемые данные, а не знание свойств исследуемой закономерности. Такая модель часто неинтерпретируема, но более точна. Это объясняется либо большим числом моделей-претендентов, которые используются для построения оптимальной модели, либо большой сложностью модели. Нахождение параметров регрессионной модели называется обучением модели .

Недостатки регрессионного анализа: модели, имеющие слишком малую сложность, могут оказаться неточными, а модели, имеющие избыточную сложность, могут оказаться переобученными .

В управлении и планировании существует целый ряд типовых задач, которые можно переложить на плечи компьютера. Пользователь таких программных средств может даже и не знать глубоко математику, стоящую за применяемым аппаратом. Он должен представлять лишь суть решаемой проблемы, готовить и вводить в компьютер исходные данные, интерпретировать полученные результаты. Программным продуктом, который можно использовать для этих целей, является Ms Excel .

Ms Excel - это не просто электронная таблица с данными и формулами для вычислений. Это универсальная система обработки данных, которая может использоваться для анализа и представления данных в наглядной форме.

Одной из чаще всего используемых возможностей Excel является экстраполяция данных - например, для анализа имеющихся фактических данных, оценки тенденции их изменения и получения на этой основе краткосрочного прогноза на будущее. В этом случае используется линейная экстраполяция данных на основе наименьшего квадратичного отклонения - отыскивается линейная зависимость данных, такая, которая бы минимизировала сумму квадратов разностей между имеющимися фактическими данными и соответствующими значениями на прямой линейного тренда (интерполяционной или экстраполяционной зависимости). На основе найденной зависимости можно сделать разумное предположение об ожидаемых будущих значениях изучаемого ряда данных.

Решение задач планирования и управления постоянно требует учета зависимостей одних факторов от других.

Рассмотрим различные методы представления зависимостей.

Если зависимость между величинами удаётся представить в математической форме, то имеем математическую модель.

Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.

Математические модели могут быть представлены в виде формул, уравнений или систем уравнений. Например, зависимость времени падения тела на землю от первоначальной высоты описывается формулой . Рассмотрим примеры других способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического . По результатам эксперимента мы составили таблицу и нарисовали график (рисунок 1).

Н (м)	t (сек)
	1,1 1,4 1,6 1,7 1,9 2,1 2,2 2,3 2,5

Рисунок1. Табличное и графическое представление данных.

Мы рассмотрели три способа отображения зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Но математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу, т.к. формула универсальна. Таблица и диаграмма (график) констатируют факты, а математическая модель позволяет прогнозировать, предсказывать путем расчетов.

Статистические данные всегда являются приближенными, усредненными. Поэтому они носят оценочный характер. Однако, они верно отражают характер зависимости величин. И еще одно важное замечание: для достоверности результатов, полученных путем анализа статистических данных, этих данных должно быть много.

График искомой функции должен проходить близко к точкам диаграммы экспериментальных данных. Строить функцию так, чтобы ёе график точно проходил через все данные точки (рисунок 2), не имеет смысла. Во-первых, математический вид такой функции может оказаться слишком сложным. Во-вторых, уже говорилось о том, что экспериментальные значения являются приближенными.

Отсюда следуют основные требования к искомой функции:

Она должна быть достаточно простой для использования её в дальнейших вычислениях;

График этой функции должен проходить вблизи экспериментальных точек так, чтобы отклонения этих точек от графика были минимальны и равномерны (рисунок 3).

Рисунок 3. Два варианта построения графической зависимости по экспериментальным данным.

Полученную функцию, график которой приведен на рисунке 3(б), принято называть в статистике регрессионной моделью. Регрессионная модель - это функция, описывающая зависимость между количественными характеристиками сложных систем.

Получение регрессионной модели происходит в два этапа:

1. Подбор вида функции;

2. Вычисление параметров функции.

Чаще всего выбор производится среди следующих функций:

y = ax + b - линейная функция;

y = ax 2 + bx + c - квадратичная функция;

y = aln(x) + b - логарифмическая функция;

y = ae bx - экспоненциальная функция;

y = ax b - степенная функция.

Если Вы выбрали (сознательно или наугад) одну из предлагаемых функций, то следующим шагом нужно подобрать параметры (a ,b, c и пр.) так, чтобы функция располагалась как можно ближе к экспериментальным точкам. Для этого подходит метод наименьших квадратов (МНК). Суть его заключается в следующем: искомая функция должна быть построена так, чтобы сумма квадратов отклонений у - координат всех экспериментальных точек от у - координат графика функции была бы минимальной.

Важно понимать следующее : методом наименьших квадратов по данному набору экспериментальных точек можно построить любую функцию. А вот будет ли она нас удовлетворять, это уже другой вопрос - вопрос критерия соответствия. На рисунке 4 изображены 3 функции, построенные методом наименьших квадратов.

Рисунок 4

Данные рисунки получены с помощью Ms Excel. График регрессионной модели называется трендом (trend - направление, тенденция).

График линейной функции - это прямая. Полученная по методу МНК прямая отражает факт роста заболеваемости от концентрации угарного газа, но по этому графику трудно что - либо сказать о характере этого роста. А вот квадратичный и экспоненциальный тренды - ведут себя очень правдоподобно.

На графиках присутствует ещё одна величина, полученная в результате построения трендов. Она обозначена как R 2 . В статистике эта величина называется коэффициентом детерминированности. Именно она определяет, насколько удачной получится регрессионная модель. Коэффициент детерминированности всегда заключен в диапазоне от 0 до 1. Если он равен 1, то функция точно проходит через табличные значения, если 0, то выбранный вид регрессионной модели неудачен. Чем R 2 ближе к 1, тем удачнее регрессионная модель.

Метод наименьших квадратов используется для вычисления параметров регрессионной модели. Этот метод содержится в математическом арсенале электронных таблиц.

Получив регрессионную математическую модель мы можем прогнозировать процесс путем вычислений. Теперь можно оценить уровень заболеваемости астмой не только для тех значений концентрации угарного газа, которые были получены путем измерений, но и для других значений. Это очень важно с практической точки зрения. Например, если в городе планируется построить завод, который будет выбрасывать в атмосфере угарный газ, то, рассчитав возможную концентрацию газа, можно предсказать, как это отразится на заболеваемости астмой жителей города.

Существуют два способа прогнозов по регрессионной модели. Если прогноз производится в пределах экспериментальных значений независимой переменной (в нашем случае это значение концентрации угарного газа - С), то это называется восстановлением значения .

Прогнозирование за пределами экспериментальных данных называется экстраполяцией.

Имея регрессионную модель, легко прогнозировать, производя расчеты с помощью электронной таблицы.

Табличный процессор дает возможность производить экстраполяцию графическим способом, продолжая тренд за пределы экспериментальных данных. Как это выглядит при использовании квадратичного тренда для С = 7 показано на рисунке 5.

Рисунок 5

В ряде случаев с экстраполяцией надо быть осторожным. Применимость всякой регрессионной модели ограничена, особенно за пределами экспериментальной области.

Список литературы.

1. Новиков Ф.А., Яценко А.Д.. Microsoft Office. С.-П.:БХВ-Петербург, 2002г. стр.449-458

2. Семакин И.Г., Хеннер Е.К. Информатика.11класс. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003г. стр.102-117

Пусть определен характер экспериментальных данных и выделен определенный набор объясняющих переменных.

Для того, чтобы найти объясненную часть, т. е. величину М Х (У), требуется знание условных распределений случайной величины Y. На практике это почти никогда не имеет места, поэтому точное нахождение объясненной части невозможно.

В таких случаях применяется стандартная процедура сглаживания экспериментальных данных, подробно описанная, например, в . Эта процедура состоит из двух этапов:

1) определяется параметрическое семейство, к которому принадлежит искомая функция М х (Y) (рассматриваемая как функция от значений объясняющих переменных X). Это может быть множество линейных функций, показательных функций и т.д.;
2) находятся оценки параметров этой функции с помошыо одного из методов математической статистики.

Формально никаких способов выбора параметрического семейства не существует. Однако в подавляющем большинстве случаев эконометрические модели выбираются линейными.

Кроме вполне очевидного преимущества линейной модели - ее относительной простоты , - для такого выбора имеются, по крайней мере, две существенные причины.

Первая причина: если случайная величина (X, Y) имеет совместное нормальное распределение, то, как известно, уравнения регрессии линейные (см. § 2.5). Предположение о нормальном распределении является вполне естественным и в ряде случаев может быть обосновано с помощью предельных теорем теории вероятностей (см. § 2.6).

В других случаях сами величины Y или X могут не иметь нормального распределения, но некоторые функции от них распределены нормально. Например, известно, что логарифм доходов населения - нормально распределенная случайная величина. Вполне естественно считать нормально распределенной случайной величиной пробег автомобиля. Часто гипотеза о нормальном распределении принимается во многих случаях, когда нет явного ей противоречия, и, как показывает практика, подобная предпосылка оказывается вполне разумной.

Вторая причина, по которой линейная регрессионная модель оказывается предпочтительнее других, - это меньший риск значительной ошибки прогноза.

Рис. 1.1 иллюстрирует два выбора функции регрессии - линейной и квадратичной. Как видно, имеющееся множество экспериментальных данных (точек) парабола сглаживает, пожалуй, даже лучше, чем прямая. Однако парабола быстро удаляется от корреляционного поля и для добавленного наблюдения (обозначенного крестиком) теоретическое значение может очень значительно отличаться от эмпирического.

Можно придать точный математический смысл этому утверждению: ожидаемое значение ошибки прогноза , т.е. математическое ожидание квадрата отклонения наблюдаемых значений от сглаженных (или теоретических) М (К на б Л - ^теор) 2 оказывается меньше в том случае, если уравнение регрессии выбрано линейным.

В настоящем учебнике мы в основном будем рассматривать линейные регрессионные модели, и, по мнению авторов, это вполне соответствует той роли, которую играют линейные модели в эконометрике.

Наиболее хорошо изучены линейные регрессионные модели, удовлетворяющие условиям (1.6), (1.7) и свойству постоянства дисперсии ошибок регрессии, - они называются /иассическими моделями.

Заметим, что условиям классической регрессионной модели удовлетворяют и гомоскедастичная модель пространственной выборки, и модель временного ряда, наблюдения которого не коррелируют, а дисперсии постоянны. С математической точки зрения они действительно неразличимы (хотя могут значительно различаться экономические интерпретации полученных математических результатов).

Подробному рассмотрению классической регрессионной модели посвящены гл. 3, 4 настоящего учебника. Практически весь последующий материал посвящен моделям, которые так или иначе могут быть сведены к классической. Часто раздел эконометрики, изучающий классические регрессионные модели, называется «Эконометрикой-1», в то время как курс «Эконометрика-2» охватывает более сложные вопросы, связанные с временными рядами, а также более сложными, существенно нелинейными моделями.

регрессия моделирование статистика mathcad

Главная задача, которая решается с помощью регрессионного анализа, - создание математических моделей некоторых объектов или явлений на основе экспериментов или наблюдений. Эти модели представляют собой определённые математические соотношения между показателями работы объекта или характеристиками наблюдаемого явления и обусловливающими их величинами. Будем называть зависимыми переменными, выходными характеристиками или откликами объекта, а - входными переменными, независимыми характеристиками или факторами. Для одного и того же объекта можно создать множество моделей:

причём каждая описывает лишь один из показателей, интересующих исследователя. В зависимости от целей исследования один и тот же объект с одинаковыми показателями может описываться различными моделями.

Выбор подходящей модели - это в значительной степени искусство, и при определении её вида часто решающую роль играют опыт и знания исследователя. Модель всегда отражает данное явление с некоторым приближением.

Есть и ещё одна причина, по которой модель не отражает протекающее явление абсолютно точно. Всегда есть величины, которые влияют на результаты, но не измеряются во время эксперимента. Часть из них имеет систематический характер и в силу этого может с течением времени вызвать изменения коэффициентов модели. Другая же часть меняется случайным образом, подчиняясь некоторому закону распределения. Такие величины ещё называют случайными возмущениями. В силу их действия повторные опыты при одних и тех же значениях факторов будут давать различные значения зависимой переменной. Модель не может точно учесть влияние случайных возмущений в каждом отдельном измерении, она показывает лишь некоторые усреднённые характеристики.

Следовательно, нет оснований говорить об "истинной" модели в полном смысле слова. Тем не менее, модели с успехом используются на практике. Обычно под "истинным" значением понимают условное математическое ожидание зависимой переменной при заданных значениях факторов:

где Е - знак математического ожидания.

Это равенство называется уравнением регрессии и показывает изменение среднего значения отклика объекта при изменениях факторов. Фактически измеряемая выходная характеристика есть

где - случайное возмущение. Чаще всего принимают, что действие на объект множества случайных возмущений эквивалентно действию одного единственного возмущения с нормальным распределением, нулевым математическим ожиданием и дисперсией. Это предположение выполняется достаточно хорошо для многих практических задач, в которых все случайные возмущения оказывают воздействия, соизмеримые одно с другим. Основанием этому служит центральная предельная теорема теории вероятностей.

Существует большое число различных регрессионных моделей, определяемых конкретным видом функции, где всегда присутствуют некоторые коэффициенты, которые надо определять по экспериментальным данным. В зависимости от того, как эти коэффициенты входят в уравнение регрессии, модели делятся на линейные и нелинейные по параметрам.

Например, модель

- нелинейна, а
- линейна.

Под линейной обычно понимают модель, линейную по параметрам. Например, модель

Линейна

по отношению к коэффициентам, не нелинейна по отношению к факторам.

Нередко регрессионные модели представляют полиномами по степеням факторов. Подобное представление опирается на тот факт, что отклики - часто непрерывные функции от факторов и их можно разложить в ряд Тейлора.

Ясно, что все функции, разложимые в ряд Тейлора, можно аппроксимировать полиномами. Это важно отметить, так как полиномами трудно аппроксимировать функции с разрывами, т.е. не имеющие производных. Полиномы не годятся для описания явлений со скачкообразными изменениями выходной характеристики при изменении факторов, функций с гистерезисом, релейных функций и т.п.

Когда исследуется периодический процесс, его наилучшее описание можно получить разложением в ряд Фурье:

где - частота, меняющаяся в пределах. Такие модели используются в электротехнике, геофизике, океанологии, биологии, медицине и других прикладных областях.

Для описания временных характеристик используется ещё так называемая модель распределённого лага:

Это выражение предполагает, что измерения делаются в дискретные моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал. Через обозначена выходная характеристика в -й момент времени, т.е.

а - та же самая величина, измеренная на тактов раньше; - значение фактора, измеренное с запаздыванием на тактов по отношению к текущему i -му моменту.

В уравнении (1.1) записана одна выходная характеристика, но аналогичные модели можно строить и когда в исследовании участвует несколько откликов. Если для случайных процессов вход явно не определён, то пользуются так называемой моделью авторегрессии:

Моделью авторегрессии, например, описывается изменение числа пассажиров на железнодорожной магистрали через определённое время. Отклик может рассматриваться и как функция некоторого фактора (нескольких факторов), заданного через определённые промежутки времени:

Представление всех моделей в единой форме удобно при организации вычислительных процедур регрессионного анализа, однако, аналогия между моделями разных видов отнюдь не полная. Например, модели (1.2) и (1.3) описывают зависимость выходной характеристики в i -й момент от её значений в предыдущие моменты, а это предполагает зависимость между наблюдениями во времени, которая влечёт за собой значительные изменения как в вычислительной процедуре, так и в статистическом анализе результатов.

Многие нелинейные по параметрам модели линеаризуемы с помощью подходящего преобразования переменных. В биологии, например, используется так называемая логистическая функция, показывающая зависимость доли погибших вредных насекомых

Число погибших насекомых, - общее число насекомых при заданной дозе инсектицида. Логистическая зависимость имеет вид

и говорит о том, что очень маленькие и очень большие дозы яда не приводят к существенному изменению доли погибших насекомых (при очень малых дозах гибнут самые не жизнестойкие, а при очень больших - все).

Если к логистической зависимости применить преобразование

то, как легко проверить, она примет вид

а эта зависимость линейна относительно искомых параметров.

В моделях, которые рассматривались до сих пор, предполагалось, что все независимые переменные могут меняться в заданных интервалах непрерывно. Однако в некоторых задачах часть факторов имеет качественный характер и может принимать только определённые дискретные значения. В этом случае в модель вводят так называемые индикаторные переменные, показывающие, имел ли некоторый фактор в определённом наблюдении заданное значение или нет. Фактор с качественными уровнями можно представить индикаторными переменными, принимающими только значения 0 и 1.

Примером послужит задача построения модели количества газовых пор в сварном шве при аргонодуговой сварке никеля в зависимости от состава покрытия электрода (криолит - , титан - , алюминий -, фтористый натрий -), а также от условий сварки - времени горения - и длины дуги - Длина дуги - качественный фактор, который может принимать только два значения: длинная дуга () и короткая дуга. Линейная по параметрам и факторам модель имеет вид:

причём переменная равна 1 в экспериментах с длинной дугой и 0 - с короткой.

Другой пример индикаторной переменной даёт исследование выхода химической реакции в зависимости от температуры (), давления () и pH раствора (). Опыты проводятся с сырьём, поставляемым фирмами А, В и С. Фирму-поставщик можно рассматривать как фактор с качественными уровнями, принимающими значения. Его влияние можно представить двумя индикаторными переменными и. Вот линейная по параметрам и факторам модель для этого случая:

Если используется сырьё фирмы А, то в этом уравнении полагаем =1, =0, для сырья фирмы В - =0, =1, а для фирмы С - =0 и =0.

В данном случае нельзя было бы выбрать для фирмы С отдельную индикаторную переменную (), поскольку такой выбор всегда приводил бы к равенству

а это - линейная зависимость между переменными, наличие которой приводит к серьёзным вычислительным трудностям.

Индикаторные переменные могут участвовать и в более сложных моделях. Если, например, предполагается, что действие факторов (температура, давление, pH раствора на выход у) зависит и от взаимного влияния между факторами, модель может принять вид:

Могут использоваться и некоторые другие модели. Одни удобнее при описании данных наблюдения определённых явлений, другие дают известные преимущества при обработке данных.