Лекция 4. Элементы механики сплошных сред

Рассмотрим движение идеальной жидкости - сплошной среды, сжимаемостью и вязкостью которой можно пренебречь. Выделим в ней некоторый объем, в нескольких точках которого определены векторы скорости движения частиц жидкости в момент времени. Если картина векторного поля со временем остается неизменной, то такое движение жидкости называется установившимся. При этом траектории частиц представляют собой непрерывные и не пересекающиеся линии. Их называют линиями тока , а объем жидкости, ограниченный линиями тока, трубкой тока (рис.4.1).

Поскольку частицы жидкости не пересекают поверхность такой трубки, ее можно рассматривать как реальную трубку с неподвижными для жидкости стенками. Выделим в трубке тока произвольные сечения и перпендикулярные направлению скорости частиц в сечениях и, соответственно (рис.4.1).

За малый промежуток времени через эти сечения протекают объемы жидкости

. (4.1)

Так жидкость несжимаема и. И тогда для любого сечения трубки тока имеет место равенство

. (4.2)

Рис.4.1

Оно называется уравнением неразрывности струи. В соответствии с (4.2) там, где сечение меньше, скорость течения жидкости больше и наоборот.

Уравнение Бернулли. Пусть рассматриваемые сечения трубки тока идеальной жидкости малы, так что можно считать величины скорости и давления в них постоянными, т.е. и, в сечении и, в (рис. 4.2).

При движении жидкости за малый промежуток времени сечение, переместится в положение пройдя путь, а сечение - в положение, пройдя. Объем жидкости, заключенный между сечениями и вследствие уравнения неразрывности будет

равен объем жидкости, заключенному в промежутке

Рис. 4.2 между и. Трубка имеет некоторый наклон

и центры ее сечений и находятся на высотах и над заданным

горизонтальным уровнем. Учитывая, что и, изменение полной энергии выделенной массы жидкости, расположенной в начальный момент между сечениями и, может быть представлено в виде

. (4.3)

Это изменение, согласно закону сохранения энергии, обусловлено работой внешних сил. В данном случае это силы давления и, действующие, соответственно, на сечения и, где и соответствующие давления. Для любого сечения трубки тока

, (4.4)

где – плотность жидкости Равенство (4.4) выражает основной закон гидродинамики, которое называется также уравнением Бернулли по имени ученого, получившего его впервые.

Давление в потоке жидкости. Следует отметить, что в выражении (4.4) все слагаемые имеют размерность давления и соответственно называются: –динамическим, – гидростатическим или весовым, – статическим давлением, а их сумма полным давлением. С учетом этого соотношение (4.4) можно выразить словами: в стационарном течении идеальной жидкости полное давление в любом сечении трубки тока (в пределе- линии тока) – величина постоянная, а скорость потока

. (4.5)

Истечение жидкости из отверстия. Пусть отверстие находящееся вблизи дна сосуда заполненного жидкостью, открыто (рис. 4.3). Выделим трубку тока с сечениями - на уровне открытой поверхности жидкости в сосуде; - на уровне отверстия -. Для них уравнение Бернулли имеет вид

. (4.6)

Здесь, где - атмосферное давление. Поэтому из (4.6) имеем

(4.7)

Если, то и членом можно

Рис. 4.3 пренебречь. Тогда из (4.7) получим

Следовательно, скорость истечения жидкости будет равна:

, (4.8)

где. Формула (4.8) получена впервые Торричелли и носит его имя. За малый промежуток времени из сосуда вытекает объем жидкости. Соответствующая ему масса, где - плотность жидкости. Она имеет импульс. Следовательно, сосуд сообщает этот импульс вытекающей массе, т.е. действует силой

По третьему закону Ньютона на сосуд будет при этом действовать сила, т.е.

. (4.9)

Здесь - сила реакции текущей жидкости. Если сосуд находится на тележке, то он под действием силы придет в движение, которое называется реактивным движением.

Ламинарное и турбулентное течения. Вязкость. Течение жидкости, при котором каждый ее слой скользит относительно других таких же слоев, и отсутствует их перемешивание, называется ламинарным или слоистым . Если внутри жидкости происходит образование вихрей и интенсивное перемешивание слоев, то такое течение называется турбулентным.

Установившееся (стационарное) течение идеальной жидкости является ламинарным при любых скоростях. В реальных жидкостях между слоями возникают силы внутреннего трения, т.е. реальные жидкости обладают вязкостью. Поэтому, каждый из слоев тормозит движение соседнего слоя. Величина силы внутреннего трения пропорциональна площади соприкосновения слоев и градиенту скорости, т.е.

, (4.10)

где - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости. Единицей его является (Паскаль- секунда). Вязкость зависит от рода жидкости и от температуры. С ростом температуры вязкость уменьшается.

Если сила внутреннего трения невелика и скорость течения мала, то движение практически является ламинарным. При больших силах внутреннего трения нарушается слоистый характер течения, начинается интенсивное перемешивание, т.е. происходит переход к турбулентности. Условия этого перехода при течении жидкости по трубам определяется величиной кр , называемой числом Рейнольдса

, (4.11)

где - плотность жидкости, - средняя по сечению трубы скорость течения, - диаметр трубы. Опыты показывают, что при течение ламинарное, при оно становится турбулентным. Для труб круглого сечения радиуса число Рейнольдса. Влияние вязкости приводит к тому, что при скорость течения по трубе круглого сечения у различных слоев оказывается разной. Ее среднее значение определяется формулой Пуазейля

, (4.12)

где - радиус трубы, ()- разность давлений на концах трубы, - ее длина.

Влияние вязкости обнаруживается и при взаимодействии потока с неподвижным телом. Обычно, в соответствии с механическим принципом относительности, рассматривается обратная задача, Например, Стоксом установлено, что при на шар, движущийся в жидкости, действует сила трения

, (4.13)

где r - радиус шарика, - скорость его движения. Формула Стокса (4.13) в лабораторном практикуме применяется для определения коэффициента вязкости жидкостей.

Колебания и волны

Колебательным движением, или просто колебанием, называется движение, характеризующееся той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение. С колебаниями мы встречаемся при изучении самых различных физических явлений: звука, света, переменных токов, радиоволн, качаний маятника и т.д. Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, все они совершаются по некоторым общим для них закономерностям. Наипростейшее из них- гармоническое колебательное движение. Колебательное движение называется гармоническим, если изменение физической величины х (смещения) происходит по закону косинуса (или синуса)

, (4.14)

где величина А – равная максимальному смещению х системы из положения равновесия, называется амплитудой колебания, (, определяет величину смещения х в данный момент времени и называется фазой колебания. В момент начала отсчета времени (фаза колебания равна. Поэтому величина называется начальной фазой. Фаза измеряется в радианах или градусах,- циклическая частота, равная числу полных колебаний, происходящих за время с.

Период - это время одного полного колебания. Он связан с циклической частотой следующим соотношением

. (4.15)

Очевидно, линейная частота (число колебаний в единицу времени) связана с периодом Т следующим образом

(4.16)

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1с. Эту единицу называют герцем (Гц). Частота в 10 3 Гц называется килогерцем (кГц), в 10 6 Гц, мегагерцем (МГц).

Колебательное движение характеризуется не только смещением х, но также скоростью и ускорением а. Их значения могут быть определены из выражения (4.14).

Продифференцировав (4.14) по времени, получим формулу скорости

. (4.17)

Как видно из (4.17), скорость также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна. Из сравнения (4.14) и (4.17) следует, что скорость опережает смещение по фазе на.

Продифференцировав (4.14) еще раз по времени, найдем выражение для ускорения

. (4.18)

Как следует из (4.14) и (4.18), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот.

Уравнение плоской бегущей волны

Уравнением волны называется выражение, описывающее зав и симость смещения колеблющейся частицы от координат и времени:

. (4.20)

Пусть точки, расположенные в плоскости, совершают колебания по закону. Колебания частиц среды в точке (рис.4.4), расположенной на рассто я нии от источника колебаний, будут происходить по тому же з а кону, но, будут отставать по времени от колебаний источн и ка на (где - скорость распространения волны). Уравнение колебания этих частиц имеет вид: (4.20)

Подставляя в уравнение (4.21) выражения для скорости () и циклической частоты (), п о лучим:

(4.22)

Если ввести волновое число, то уравнение плоской волны можно записать в виде:

. (4.23)

Скорость в этих уравнениях представляет собой ск о рость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью . Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна . Для нахождения скорости ее перемещения разделим выражение для фазы на и продифференцируем по врем е ни. Получим:

Откуда.

Стоячая волна. Если в среде одновременно распространяется несколько волн, то выполняется принцип суперпозиции (наложения ): к а ждая волна ведет себя так, как будто другие волны отсутствуют, а результиру ю щее смещение частиц среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают част и цы, участвуя в каждом из слагающих волновых проце с сов.

Большой практический интерес представляет наложение двух плоских волн

И, (4.24)

с одинаковыми частотами и амплитудами, распространяющихся навстречу друг другу вдоль оси. Сложив эти уравнения, п о лучим уравнение результирующей волны, называемой стоячей во л н . (4.25)

Таблица 4.1

В точках среды, где ампл и туда волны обращается в ноль (). Эти точки называются узлами () стоячей волны. Координаты узлов.

Расстояние между двумя соседними узлами (или между двумя с о седними пучностями), называемое длиной стоячей волны, равно половине длины бегущ ей волн ы . Таким образом, при сложении двух бегущих волн образуется стоячая волна, узлы и пучности которой находятся все время в одних и тех же местах.

Характеристики бегущей и стоячей волн приведены в табл.5.1.

Осн. 1 , 5 . 6

Доп. 18 , 22 [ 25-44]

Контрольные вопросы:

Осн. 1 , 8 .

Контрольные вопросы:

1. Может ли быть одинаковым давление в двух точках, лежащих на разных уровнях в установленной наклонно сужающейся трубке, по которой течет идеальная жидкость?

2. Почему струя жидкости, вытекающая из отверстия, по мере удаления от отверстия все больше сжимается?

3.Как соотносятся фазы колебания ускорения и смещения при гармонических колебаниях.

И КЛАССИФИКАЦИЯ СПОСОБОВ БУРЕНИЯ

МЕТОДЫ РАЗРУШЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД

основным и наиболее широко распространенным методом разрушения горных пород при бурении скважин в настоящее время является механический . При этом методе породоразрушающим инструментом являются буровые долота и коронки. Вращение породоразрушающего инструмента производится несколькими способами: роторный , турбинный и с помощью электробура - всœе эти способы являются разновидностью вращательного метода , при котором образование скважины происходит за счёт непрерывного вращения долота и внедрение его в породу под действием осœевой нагрузки.

Кроме вращательного метода существует ударный метод - здесь скважина образуется за счёт разрушения породы под ударами клинообразного долота. Сочетание вращательного и ударного методов бурения создает комбинированный метод (ударно-вращательный).

Разрушение породы осуществляется следующим образом:

1. Резанием - при вращательном бурении долотами и коронками режущего типа.

2. Дроблением - при ударном бурении клинообразными долотами и при вращательном - шарошечными долотами ʼʼчистогоʼʼ качения.

3. Скалыванием - при вращательном бурении скважины шарошечными долотами скалывающего типа.

4. Истиранием - при вращательном бурении долотами режущего и шарошечного типа при малых удельных нагрузках на долото и большого числа оборотов.

Механические свойства твердого тела - это его специфические признаки, проявляющиеся при механических процессах, обусловленные природой и внутренним строением тела.

Деформированием принято называть процесс изменения размеров или формы твердого тела под действием внешних сил.

Деформация - это относительная величина изменения размера или формы тела.

Сопротивление тела деформированию в рассматриваемой точке принято характеризовать отношением:

где - равнодействующая внутренних сил на элементарной площадке сечения,

Площадь, на которую действуют силы,

Напряжение в точке (векторная величина).

Упругой (обратимой) деформация будет в том случае, в случае если при снятии внешних сил размеры и форма тела полностью восстанавливаются. В этом случае внутренние силы совершают работу, равную работе внешних сил, обратную по знаку.

Пластической (необратимой) деформация будет в том случае, в случае если при снятии внешних сил размеры и форма тела не восстанавливаются. В этом случае, естественно, работа͵ затраченная на деформирование тела больше работы восстанавливания.

Разрушение тела наступает тогда, когда в процессе деформирования его происходит разрыв связей, обуславливающих само твердое тело.

В случае отсутствия необратимой деформации в процессе разрушения твердого тела разрушение принято называть хрупким .

Пластическое разрушение тела характеризуется значительной необратимой деформацией.

Прочностью принято называть способность твердого тела противостоять разрушению от действия внешних сил. Прочность твердых тел характеризуется величиной предельных напряжений в опасном сечении тела.

Поведение деформированного твердого тела должна быть описано методом натурных испытаний, методом испытания моделœей, расчетным методом.

Следует отметить, что точного математического описания состояния твердого тела нет, что затрудняет аналитически охарактеризовать механические свойства горных пород.

Метод натурных испытаний надежный, но трудоемкий, метод испытания моделœей осуществляется с применением теории подобия и моделирования в механике. Третий метод (расчетный) наименее трудоемкий и наименее точный.

Для различных групп тел созданы идеализированные математические модели, включающие в себя лишь наиболее существенные признаки группы.

К основным моделям относятся:

1. Упругое тело, или тело Гука (деформируется упруго до разрушения).

2. Пластическое тело, или тело Сан-Венана (до величины предельных напряжений деформируется упруго, а далее деформируется пластически при постоянной нагрузке).

3. Вязкое тело, или тело Ньютона (деформируется подобно вязкой жидкости).

В соответствии с моделями выделяют группы упругих, пластических, реологических (вязкостных) и прочностных показателœей свойств.

Рассмотренные методы не могут подменить крайне важно сть изучения сущности процессов деформирования и разрушения твердых тел (необходимы эксперименты и методы прогнозирования).

ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД - понятие и виды. Классификация и особенности категории "ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД" 2017, 2018.

Рекомендуем почитать

Кровля

К чему снится украшать елку игрушками

Мебель

Склонение фамилий Самые распространенные фамилии

Мебель

Реферат: Семья XXI века социологические проблемы

Отделка

Основные компоненты процесса развития диалогической речи, в условиях раннего обучения английскому языку исходя из особенностей каждой формы

Отделка

Правильная подготовка к сдаче спермограммы

Кухня

Модернизация российского образования Программа модернизации образования до