Расчет средних показателей в статистике. Cредние величины в статистике. Свойства средней арифметической величины

Сейчас поговорим о том, как рассчитывать среднюю величину .
В классическом виде общая теория статистики предлагает нам один вариант правил выбора средней величины.
Сначала необходимо составить правильно логическую формулу для расчета средней величины (ЛФС). Для каждой средней величины всегда есть только одна логическая формула ее расчета, поэтому ошибиться тут трудно. Но всегда надо помнить, что в числителе (это то, что сверху дроби) сумма всех явлений, а в знаменателе (то, что внизу дроби) общее количество элементов.

После того как составлена логическая формула можно пользоваться правилами (для простоты понимания упростим их и сократим):
1. Если в исходных данных (определяем по частоте) представлен знаменатель логической формулы, то расчет проводим по формуле средней арифметической взвешенной.
2. Если в исходных данных представлен числитель логической формулы, то расчет ведем по формуле средней гармонической взвешенной.
3. Если в задаче представлены сразу и числитель и знаменатель логической формулы (такое бывает редко), то расчет проводим по этой формуле или по формуле средней арифметической простой.
Это классическое представление о выборе верной формулы расчета средней величины. Далее представим последовательность действий при решении задач на расчет средней величины.

Алгоритм решения задач на расчет средней величины

А. Определяем способ расчета средней величины – простой или взвешенный . Если данные представлены в таблице то используем взвешенный способ, если данные представлены простым перечислением, то используем простой способ расчета.

Б. Определяем или расставляем условные обозначения – x – варианта, f – частота . Варианта это то, для какого явления требуется найти среднюю величину. Оставшиеся данные в таблице будут частотой.

В. Определяем форму расчета средней величины – арифметическая или гармоническая . Определение проводится по колонке частот. Арифметическая форма используется, если частоты заданы явным количеством (условно к ним можно подставить слово штук, количество элементов «штук»). Гармоническая форма используется, если частоты заданы не явным количеством, а сложным показателем (произведением осредняемой величины и частоты).

Самое сложное, это догадаться, где и какое количество задано, особенно неопытному в таких делах студенту. В такой ситуации можно воспользоваться одним из предлагаемых далее способов. Для некоторых задач (экономических) подходит наработанное годами практики утверждение (пункт В.1). В других же ситуациях придется пользоваться пунктом В.2.

В.1 Если частота задана в денежных единицах (в рублях), то используется для расчета средняя гармоническая, такое утверждение верно всегда, если выявленная частота задана в деньгах, в других ситуациях это правило не действует.

В.2 Воспользоваться правилами выбора средней величины указанными выше в этой статье. Если частота задана знаменателем логической формулы расчета средней величины, то рассчитываем по средней арифметической форме, если частота задана числителем логической формулы расчета средней величины, то рассчитываем по средней гармонической форме.

Рассмотрим на примерах использование данного алгоритма.

А. Так как данные представлены в строчку то используем простой способ расчета.

Б. В. Имеем только данные по величине пенсий, именно они и будут нашей вариантой – х. Данные представлены простым количеством (12 человек), для расчета используем среднюю арифметическую простую.

Средний размер пенсии пенсионера составляет 9208,3 рубля.

Б. Так как требуется найти средний размер выплаты на одного ребенка, то варианты находятся в первой колонке, туда ставим обозначение х , вторая колонка автоматически становится частотой f .

В. Частота (число детей) задана явным количеством (можно подставить слово штук детей, с точки зрения русского языка неверное словосочетание, но, по сути, очень удобно проверять), значит, для расчета используется средняя арифметическая взвешенная.

Эту же задачу модно решить не формульным способом, а табличным, то есть занести все данные промежуточных расчетов в таблицу.

В результате все, что нужно теперь сделать, это разделить два итоговых данных в правильно порядке.

Средний размер выплаты на одного ребенка в месяц составил 1910 рублей.

А. Так как данные представлены в таблице то для расчета используем взвешенную форму.

В. Частота (себестоимость выпуска) задана неявным количеством (частота задана в рублях пункт алгоритма В1 ), значит, для расчета используется средняя гармоническая взвешенная. Вообще же, по сути, себестоимость выпуска это сложный показатель, который получается перемножение себестоимости единицы изделия на количество таких изделий, вот это и есть суть средней гармонической величины.

Чтобы эта задача могла решаться по формуле средней арифметической необходимо, чтобы вместо себестоимости выпуска стояло число изделий с соответствующей себестоимостью.

Обратите внимание, что сумма в знаменателе, получившаяся после расчетов 410 (120+80+210) это и есть общее количество выпущенных изделий.

Средняя себестоимость единицы изделия составила 314,4 рубля.

А. Так как данные представлены в таблице то для расчета используем взвешенную форму.

Б. Так как требуется найти среднюю себестоимость единицы изделия, то варианты находятся в первой колонке, туда ставим обозначение х , вторая колонка автоматически становится частотой f .

В. Частота (общее число пропусков) задана неявным количеством (это произведение двух показателей числа пропусков и числа студентов, имеющих такое количество пропусков), значит, для расчета используется средняя гармоническая взвешенная. Будем использовать пункт алгоритма В2 .

Чтобы эта задача могла решаться по формуле средней арифметической необходимо, чтобы вместо общего числа пропусков стояло число студентов.

Составляем логическую формулу расчета среднего числа пропусков одного студента.

Частота по условию задачи Общее число пропусков. В логической формуле этот показатель находится в числителе, а значит, используем формулу средней гармонической.

Обратите внимание, что сумма в знаменателе, получившаяся после расчетов 31 (18+8+5) это и есть общее количество студентов.

Среднее число пропусков одного студента 13,8 дня.

Средняя величина является наиболее ценной с аналитической точ­ки зрения и универсальной формой выражения статистических пока­зателей. Наиболее распространенная средняя - средняя арифметичес­кая - обладает рядом математических свойств, которые могут быть использованы при ее расчете. В то же время при исчислении конкрет­ной средней всегда целесообразно опираться на ее логическую фор­мулу, представляющую собой отношение объема признака к объему совокупности. Для каждой средней существует только одно истинное исходное соотношение, для реализации которого, в зависимости от имеющихся данных, могут потребоваться различные формы средних. Однако во всех случаях, когда характер осредняемой величины под­разумевает наличие весов, нельзя вместо взвешенных формул сред­них использовать их невзвешенные формулы.

Средняя величина - это наиболее характерное для совокупности значение признака и распределенный равными долями между единицами совокупности раз­мер признака совокупности.

Признак, для которого рассчитывается средняя величи­на, носит название осредняемый .

Средняя величина - показатель, рассчитываемый сопоставлением абсолютных или относительных величин. Среднюю величину обозначают

Средняя величина отражает влияние всех факторов, влия­ющих на исследуемое явление, и является для них равнодей­ствующей. Другими словами, погашая индивидуальные откло­нения и устраняя влияние случаев, средняя величина, отражая общую меру результатов этого действия, выступает общей закономерностью изучаемого явления.

Условия применения средних величин:

Ø однородность исследуемой совокупности. Если некоторые подверженные влиянию случайного фактора элементы совокупности имеют значитель­но отличающиеся от остальных величины изуча­емого признака, то данные элементы повлияют на размер средней для данной совокупности. В этом случае средняя не будет выражать наиболее ти­пичную для совокупности величину признака. Если исследуемое явление неоднородно, требуется его разбивка на содержащие однородные элементы группы. В данном случае рассчитывают средние по группам - груп­повые средние, выражающие наиболее характерную вели­чину явления в каждой группе, а затем рассчитывается об­щая средняя величина для всех элементов, характеризующая явление в целом. Она рассчитывается как средняя из группо­вых средних, взвешенных по числу включенных в каждую группу элементов совокупности;

Ø достаточное количество единиц в совокупности;

Ø максимальное и минимальное значения признака в изучаемой совокупности.

Средняя величина (показатель) – это обобщенная количественная характеристика признака в систематической совокупности в конкретных условиях места и времени .

В статистике применяется следующие формы (виды) средних величин, называемых степенными и структурными:

Ø средняя арифметическая (простая и взвешенная);

Средняя величина - это обобщающий показатель, который характеризует качественно однородную совокупность по определенному количественному признаку. Например, средний возраст лиц, осужденных за кражу.

В судебной статистике средние величины используют для характеристики:

Средних сроков рассмотрения дел данной категории;

Среднего размера иска;

Среднего числа ответчиков, приходящихся на одно дело;

Среднего размера ущерба;

Средней нагрузки судей, и др.

Средняя всегда величина именованная и имеет ту же размерность, что и признак у отдельной единицы совокупности. Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному варьирующему признаку, поэтому за всякой средней скрывается ряд распределения единиц этой совокупности по изучаемому признаку. Выбор вида средней определяется содержанием показателя и исходных данных для расчета средней величины.

Все виды средних величин, используемые в статистических исследованиях, подразделяются на две категории:

1) степенные средние;

2) структурные средние.

Первая категория средних величин включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю геометрическую и среднюю квадратическую . Вторая категория - это мода и медиана . При этом каждый из перечисленных видов степенных средних величин может иметь две формы: простую и взвешенную . Простая форма средней величины используется для получения среднего значения изучаемого признака, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, либо когда каждая варианта в совокупности встречается только один раз. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи, с чем каждый вариант приходится умножать на соответствующую частоту. Иными словами, каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту называют статистическим весом.

Средняя арифметическая простая - самый распространенный вид средней. Она равна сумме отдельных значений признака, деленной на общее число этих значений:

где x 1 ,x 2 , … ,x N - индивидуальные значения варьирующего признака (варианты), а N - число единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в тех случаях, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок. Она вычисляется как сумма произведений вариантов на соответствующие им частоты, деленная на сумму частот всех вариантов:

где x i - значение i -й варианты признака; f i - частота i -й варианты.

Таким образом, каждое значение варианты взвешивается по своей частоте, поэтому частоты иногда называют статистическими весами.

Замечание. Когда речь идет о средней арифметической величине без указания ее вида, подразумевается средняя арифметическая простая.

Таблица 12.

Решение. Для расчета используем формулу средней арифметической взвешенной:

Таким образом, в среднем на одно уголовное дело приходится два обвиняемых.

Если вычисление средней величины производят по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, то сначала надо определить серединные значения каждого интервала х" i , после чего рассчитать среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной, в которую вместо x i подставляют х" i .

Пример. Данные о возрасте преступников, осужденных за совершение кражи, представлены в таблице:

Таблица 13.

Определить средний возраст преступников, осужденных за совершение кражи.

Решение. Для того, чтобы определить средний возраст преступников на основе интервального вариационного ряда необходимо сначала найти серединные значения интервалов. Так как дан интервальный ряд с открытыми первым и последним интервалами, то величины этих интервалов принимаются равными величинам смежных закрытых интервалов. В нашем случае величина первого и последнего интервалов равны 10.

Теперь находим средний возраст преступников по формуле средней арифметической взвешенной:

Таким образом, средний возраст преступников, осужденных за совершение кражи, приближенно равен 27 лет.

Средняя гармоническая простая представляет собой величину, обратную средней арифметической из обратных значений признака:

где 1/x i - обратные значения вариантов, а N - число единиц совокупности.

Пример. Для определения средней годовой нагрузки на судей районного суда при рассмотрении уголовных дел провели обследование нагрузки 5 судей этого суда. Средние затраты времени на одно уголовное дело для каждого из обследованных судей оказались равными (в днях): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Найти средние затраты на одно уголовное дело и среднюю годовую нагрузку на судей данного районного суда при рассмотрении уголовных дел.

Решение. Для определения средних затрат времени на одно уголовное дело, воспользуемся формулой средней гармонической простой:

Для упрощения расчетов в примере возьмем число дней в году равным 365, включая выходные (это не влияет на методику расчета, а при вычислении аналогичного показателя на практике необходимо вместо 365 дней подставить количество рабочих дней в конкретном году). Тогда средняя годовая нагрузка на судей данного районного суда при рассмотрении уголовных дел составит: 365(дней) : 5,56 ≈ 65,6 (дел).

Если бы мы для определения средних затрат времени на одно уголовное дело, воспользовались формулой средней арифметической простой, то получили бы:

365 (дней) : 5,64 ≈ 64,7 (дела), т.е. средняя нагрузка на судей оказалась меньше.

Проверим обоснованность такого подхода. Для этого воспользуемся данными о затратах времени на одно уголовное дело для каждого судьи и рассчитаем число уголовных, рассмотренных каждым из них за год.

Получим соответственно :

365(дней) : 6 ≈ 61 (дело), 365(дней) : 5,6 ≈ 65,2 (дел), 365(дней) : 6,3 ≈ 58 (дел),

365(дней) : 4,9 ≈ 74,5 (дела), 365(дней) : 5,4 ≈ 68 (дел).

Теперь вычислим среднюю годовую нагрузку на судей данного районного суда при рассмотрении уголовных дел:

Т.е. средняя годовая нагрузка такая же, как и при использовании средней гармонической.

Таким образом, использование средней арифметической в данном случае неправомерно.

В тех случаях, когда известны варианты признака, их объемные значения (произведение варианты на частоту), но неизвестны сами частоты, применяется формула средней гармонической взвешенной:

где x i - значения вариантов признака, а w i - объемные значения вариантов (w i = x i · f i ).

Пример. Данные о цене единицы однотипного товара, произведенного различными учреждениями уголовно-исполнительной системы, и об объемах его реализации приведены в таблице 14.

Таблица 14

Найти среднюю цену реализации товара.

Решение. При расчете средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам неизвестно количество реализованных единиц, но известны суммы реализаций товаров. Поэтому для нахождения средней цены реализованных товаров воспользуемся формулой средней гармонической взвешенной. Получаем

Если здесь использовать формулу средней арифметической, то можно получить среднюю цену, которая будет нереальна:

Средняя геометрическая вычисляется извлечением корня степени N из произведения всех значений вариантов признака:

где x 1 ,x 2 , … ,x N - индивидуальные значения варьирующего признака (варианты), а

N - число единиц совокупности.

Этот вид средней используется для вычисления средних показателей роста рядов динамики.

Средняя квадратическая применяется для расчета среднеквадратического отклонения, являющегося показателем вариации, и будет рассмотрена ниже.

Для определения структуры совокупности используют особые средние показатели, к которым относятся медиана и мода , или так называемые структурные средние. Если средняя арифметическая рассчитывается на основе использования всех вариантов значений признака, то медиана и мода характеризуют величину того варианта, который занимает определенное среднее положение в ранжированном (упорядоченном) ряду. Упорядочение единиц статистической совокупности может быть проведено по возрастанию или убыванию вариантов изучаемого признака.

Медиана (Ме) - это величина, которая соответствует варианту, находящемуся в середине ранжированного ряда. Таким образом, медиана - это тот вариант ранжированного ряда, по обе стороны от которого в данном ряду должно находиться равное число единиц совокупности.

Для нахождения медианы сначала необходимо определить ее порядковый номер в ранжированном ряду по формуле:

где N - объем ряда (число единиц совокупности).

Если ряд состоит из нечетного числа членов, то медиана равна варианте с номером N Me . Если же ряд состоит из четного числа членов, то медиана определяется как среднее арифметическое двух смежных вариант, расположенных в середине.

Пример. Дан ранжированный ряд 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Объем ряда N = 9, значит N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Следовательно, Ме = 6, т.е. пятой варианте. Если дан ряд 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, т.е. ряд с четным числом членов (N = 8), то N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Значит медиана равна полусумме четвертой и пятой вариант, т.е. Ме = (9 + 11) / 2 = 10.

В дискретном вариационном ряду медиану определяют по накопленным частотам. Частоты вариант, начиная с первой, суммируются до тех пор, пока не будет превзойден номер медианы. Значение последней просуммированной варианты и будет медианой.

Пример. Найти медиану числа обвиняемых, приходящихся на одно уголовное дело, используя данные таблицы 12.

Решение. В данном случае объем вариационного ряда N = 154, следовательно, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Просуммировав частоты первой и второй варианты, получим: 75 + 43 = 118, т.е. мы превзошли номер медианы. Значит Ме = 2.

В интервальном вариационном ряду распределения сначала указывают интервал, в котором будет находиться медиана. Его называют медианным . Это первый интервал, накопленная частота которого превышает половину объема интервального вариационного ряда. Затем численное значение медианы определяется по формуле:

где x Ме - нижняя граница медианного интервала; i - величина медианного интервала; S Ме-1 - накопленная частота интервала, который предшествует медианному; f Ме - частота медианного интервала.

Пример. Найти медиану возраста преступников, осужденных за совершение кражи, на основе статистических данных, представленных в таблице 13.

Решение. Статистические данные представлены интервальным вариационным рядом, значит сначала определим медианный интервал. Объем совокупности N = 162, следовательно, медианным интервалом является интервал 18-28, т.к. это первый интервал, накопленная частота которого (15 + 90 = 105) превышает половину объема (162: 2 = 81) интервального вариационного ряда. Теперь численное значение медианы определяем по приведенной выше формуле:

Таким образом, половина осужденных за совершение кражи младше 25 лет.

Модой (Мо) называют значение признака, которое наиболее часто встречается у единиц совокупности. К моде прибегают для выявления величины признака, имеющей наибольшее распространение. Для дискретного ряда модой будет являться вариант с наибольшей частотой. Например, для дискретного ряда, представленного в таблице 3 Мо = 1, так как этому значению варианты соответствует наибольшая частота - 75. Для определения моды интервального ряда сначала определяют модальный интервал (интервал, имеющий наибольшую частоту). Затем в пределах этого интервала находят то значение признака, которое может являться модой.

Его значение находят по формуле:

где x Mo - нижняя граница модального интервала; i - величина модального интервала; f Мо - частота модального интервала; f Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному; f Мо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Пример. Найтимодувозраста преступников, осужденных за совершение кражи, данные о которых представлены в таблице 13.

Решение. Наибольшая частота соответствует интервалу 18-28, следовательно, мода должна находиться в этом иртервале. Ее величину определяем по приведенной выше формуле:

Таким образом, наибольшее число преступников, осужденных за совершение кражи, имеет возраст 24 года.

Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако две совокупности, имеющие одинаковые средние значения, могут значительно отличаться друг от друга по степени колеблемости (вариации) величины изучаемого признака. Например, в одном суде были назначены следующие сроки лишения свободы: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 лет, а в другом - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 лет. В обоих случаях средняя арифметическая равна 6,7 лет. Однако эти совокупности существенно различаются между собой разбросом индивидуальных значений назначенного срока лишения свободы относительно среднего значения.

И для первого суда, где этот разброс достаточно большой, средняя величина срока лишения свободы плохо отражает всю совокупность. Таким образом, если индивидуальные значения признака мало отличаются друг от друга, то средняя арифметическая будет достаточно показательной характеристикой свойств данной совокупности. В противном случае средняя арифметическая будет ненадежной характеристикой этой совокупности и применение ее на практике малоэффективно. Поэтому необходимо учитывать вариацию значений изучаемого признака.

Вариация - это различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Термин «вариация» имеет латинское происхождение - variatio, что означает различие, изменение, колеблемость. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели.

К основным показателям вариации относятся следующие:

1) размах вариации;

2) среднее линейное отклонение;

3) дисперсия;

4) среднее квадратическое отклонение;

5) коэффициент вариации.

Кратко остановимся на каждом из них.

Размах вариации R самый доступный по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности:

Размах вариации (размах колебаний) - важный показатель колеблемости признака, но он дает возможность увидеть только крайние отклонения, что ограничивает область его применения. Для более точной характеристики вариации признака на основе учета его колеблемости используются другие показатели.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений индивидуальных значений признака от средней и определяется по формулам:

1) для несгруппированных данных

2) для вариационного ряда

Однако наиболее широко применяемым показателем вариации является дисперсия . Она характеризует меру разброса значений изучаемого признака относительно его среднего значения. Дисперсия определяется как средняя из отклонений, возведенных в квадрат.

Простая дисперсия для не сгруппированных данных:

Взвешенная дисперсия для вариационного ряда:

Замечание. На практике для вычисления дисперсии лучше использовать следующие формулы:

Для простой дисперсии

Для взвешенной дисперсии

Среднее квадратическое отклонение - это корень квадратный из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем, однороднее совокупность и тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю совокупность.

Рассмотренные выше меры рессеяния (размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение) являются абсолютными показателями, судить по которым о степени колеблемости признака не всегда возможно. В некоторых задачах необходимо использовать относительные показатели рассеяния, одним из которых является коэффициент вариации.

Коэффициент вариации - выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации разных признаков или одного и того же признака в различных совокупностях, но и для характеристики однородности совокупности. Статистическая совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному распределению).

Пример. Имеются следующие данныео сроках лишения свободы 50 осужденных, доставленных для отбывания назначенного судом наказания в исправительное учреждение уголовно-исполнительной системы: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2, 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6, 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Построить ряд распределения по срокам лишения свободы.

2. Найти среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

3. Вычислить коэффициент вариации и сделать заключение об однородности или неоднородности изучаемой совокупности.

Решение. Для построения дискретного ряда распределения необходимо определить варианты и частоты. Варианта в данной задаче - это срок лишения свободы, а частоты - численность отдельных вариант. Рассчитав частоты, получим следующий дискретный ряд распределения:

Найдем среднее значение и дисперсию. Поскольку статистические данные представлены дискретным вариационным рядом, то для их вычисления будем использовать формулы среднего арифметического взвешенного и дисперсии. Получим:

Теперь вычисляем среднее квадратическое отклонение:

Находим коэффициент вариации:

Следовательно, статистическая совокупность количественно неоднородна.

Средняя величина - это обобщающий показатель статистической совокупности, который погашает индивидуальные различия значений статистических величин, позволяя сравнивать разные совокупности между собой.

Существует 2 класса средних величин: и .

К структурным средним относятся мода и медиана , но наиболее часто применяются степенные средние различных видов.

Степенные средние величины

Степенные средние могут быть простыми и взвешенными .

Простая средняя величина рассчитывается при наличии двух и более несгруппированных статистических величин, расположенных в произвольном порядке по следующей общей формуле:

Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей формулы:

Где X – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов;
m - показатель степени, от значения которого зависят следующие виды степенных средних величин :
при m = -1 ;
при m = 0 ;
при m = 1 ;
при m = 2 ;
при m = 3 .

Используя общие формулы простой и взвешенной средних при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида, которые будут далее подробно рассмотрены.

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая - это самая часто используемая средняя величина, которая получается, если подставить в общую формулу m=1. Средняя арифметическая простая имеет следующий вид:

Где X - значения величин, для которых необходимо рассчитать среднее значение; N - общее количество значений X (число единиц в изучаемой совокупности).

Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической простой: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.

Средняя арифметическая взвешенная имеет следующий вид:

Где f - количество величин с одинаковым значением X (частота).

Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической взвешенной: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4.

Если значения X заданы в виде интервалов, то для расчетов используют середины интервалов X, которые определяются как полусумма верхней и нижней границ интервала. А если у интервала X отсутствует нижняя или верхняя граница (открытый интервал), то для ее нахождения применяют размах (разность между верхней и нижней границей) соседнего интервала X.

Например, на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 - со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников - со стажем более 5 лет. Тогда рассчитаем средний стаж работников по формуле средней арифметической взвешенной, приняв в качестве X середины интервалов стажа (2, 4 и 6 лет):
(2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 года.

Средняя арифметическая применяется чаще всего, но бывают случаи, когда необходимо применение других видов средних величин. Рассмотрим такие случаи далее.

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая применяется, когда исходные данные не содержат частот f по отдельным значениям X, а представлены как их произведение Xf. Обозначив Xf=w, выразим f=w/X, и, подставив эти обозначения в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу средней гармонической взвешенной:

Таким образом, средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда неизвестны частоты f, а известно w=Xf. В тех случаях, когда все w=1, то есть индивидуальные значения X встречаются по 1 разу, применяется формула средней гармонической простой:

Например, автомобиль ехал из пункта А в пункт Б со скоростью 90 км/ч, а обратно - со скоростью 110 км/ч. Для определения средней скорости применим формулу средней гармонической простой, так как в примере дано расстояние w 1 =w 2 (расстояние из пункта А в пункт Б такое, же как и из Б в А), которое равно произведению скорости (X) на время (f). Средняя скорость = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 км/ч.

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая применяется при определении средних относительных изменений, о чем сказано в теме Ряды динамики . Геометрическая средняя величина дает наиболее точный результат осреднения, если задача стоит в нахождении такого значения X, который был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения X.

Например, в период с 2005 по 2008 годы индекс инфляции в России составлял: в 2005 году - 1,109; в 2006 - 1,090; в 2007 - 1,119; в 2008 - 1,133. Так как индекс инфляции - это относительное изменение (индекс динамики), то рассчитывать среднее значение нужно по средней геометрической: (1,109*1,090*1,119*1,133)^(1/4) = 1,1126, то есть за период с 2005 по 2008 ежегодно цены росли в среднем на 11,26%. Ошибочный расчет по средней арифметической дал бы неверный результат 11,28%.

Средняя квадратическая

Средняя квадратическая применяется в тех случая, когда исходные значения X могут быть как положительными, так и отрицательными, например при расчете средних отклонений.

Главной сферой применения квадратической средней является измерение вариации значений X, о чем пойдет речь .

Средняя кубическая

Средняя кубическая применяется крайне редко, например, при расчете индексов нищеты населения для развивающихся стран (ИНН-1) и для развитых (ИНН-2), предложенных и рассчитываемых ООН.

Структурные средние величины

К наиболее часто используемым структурным средним относятся и .

Статистическая мода

Статистическая мода - это наиболее часто повторяющееся значение величины X в статистической совокупности.

Если X задан дискретно , то мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой. В статистической совокупности бывает 2 и более моды, тогда она считается бимодальной (если моды две) или мультимодальной (если мод более двух), и это свидетельствует о неоднородности совокупности.

Например, на предприятии работает 16 человек: 4 из них - со стажем 1 год, 3 человека - со стажем 2 года, 5 - со стажем 3 года и 4 человека - со стажем 4 года. Таким образом, модальный стаж Мо=3 года, поскольку частота этого значения максимальна (f=5).

Если X задан равными интервалами , то сначала определяется модальный интервал как интервал с наибольшей частотой f. Внутри этого интервала находят условное значение моды по формуле:

Где Мо – мода;
Х НМо – нижняя граница модального интервала;
h Мо – размах модального интервала (разность между его верхней и нижней границей);
f Мо – частота модального интервала;
f Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
f Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Например, на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 - со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников - со стажем более 5 лет. Рассчитаем модальный стаж работы в модальном интервале от 3 до 5 лет: Мо = 3 + 2*(20-10)/(2*20-10-5) = 3,8 (года).

Если размах интервалов h разный, то вместо частот f необходимо использовать плотности интервалов, рассчитываемые путем деления частот f на размах интервала h.

Статистическая медиана

Статистическая медиана – это значение величины X, которое делит упорядоченную по возрастанию или убыванию статистическую совокупность на 2 равных по численности части. В итоге у одной половины значение больше медианы, а у другой - меньше медианы.

Если X задан дискретно , то для определения медианы все значения нумеруются от 0 до N в порядке возрастания , тогда медиана при четном числе N будет лежать посередине между X c номерами 0,5N и (0,5N+1), а при нечетном числе N будет соответствовать значению X с номером 0,5(N+1).

Например, имеются данные о возрасте студентов-заочников в группе из 10 человек - X: 18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30 лет. Эти данные уже упорядочены по возрастанию, а их количество N=10 - четное, поэтому медиана будет находиться между X с номерами 0,5*10=5 и (0,5*10+1)=6, которым соответствуют значения X 5 =21 и X 6 =23, тогда медиана: Ме = (21+23)/2 = 22 (года).

Если X задан в виде равных интервалов , то сначала определяется медианный интервал (интервал, в котором заканчивается одна половина частот f и начинается другая половина), в котором находят условное значение медианы по формуле:

Где Ме – медиана;
Х НМе – нижняя граница медианного интервала;
h Ме – размах медианного интервала (разность между его верхней и нижней границей);
f Ме – частота медианного интервала;
f Ме-1 – сумма частот интервалов, предшествующих медианному.

В ранее рассмотренном примере при расчете модального стажа (на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 - со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников - со стажем более 5 лет) рассчитаем медианный стаж. Половина общего числа работников составляет (10+20+5)/2 = 17,5 и находится в интервале от 3 до 5 лет, а в первом интервале до 3 лет - только 10 работников, а в первых двух - (10+20)=30, что больше 17,5, значит интервал от 3 до 5 лет - медианный. Внутри него определяем условное значение медианы: Ме = 3+2*(0,5*30-10)/20 = 3,5 (года).

Также как и в случае с модой, при определении медианы если размах интервалов h разный, то вместо частот f необходимо использовать плотности интервалов, рассчитываемые путем деления частот f на размах интервала h.

Показатели вариации

Вариация - это различие значений величин X у отдельных единиц статистической совокупности. Для изучения силы вариации рассчитывают следующие показатели вариации : , , , , .

Размах вариации

Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями X из имеющихся в изучаемой статистической совокупности:

Недостатком показателя H является то, что он показывает только максимальное различие значений X и не может измерять силу вариации во всей совокупности.

Cреднее линейное отклонение

Cреднее линейное отклонение - это средний модуль отклонений значений X от среднего арифметического значения. Его можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой - получим :

Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. = 4. Рассчитаем среднее линейное отклонение простое: Л = (|3-4|+|4-4|+|4-4|+|5-4|)/4 = 0,5.

Если исходные данные X сгруппированы (имеются частоты f), то расчет среднего линейного отклонения выполняется по формуле средней арифметической взвешенной - получим :

Вернемся к примеру про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. = 4 и = 0,5. Рассчитаем среднее линейное отклонение взвешенное: Л = (|3-4|*1+|4-4|*2+|5-4|*1)/4 = 0,5.

Линейный коэффициент вариации

Линейный коэффициент вариации - это отношение среднего линейного отклонение к средней арифметической:

С помощью линейного коэффициента вариации можно сравнивать вариацию разных совокупностей, потому что в отличие от среднего линейного отклонения его значение не зависит от единиц измерения X.

В рассматриваемом примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, линейный коэффициент вариации составит 0,5/4 = 0,125 или 12,5%.

Дисперсия

Дисперсия - это средний квадрат отклонений значений X от среднего арифметического значения. Дисперсию можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой - получим дисперсию простую :

В уже знакомом нам примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил оценки: 3, 4, 4 и 5, = 4. Тогда дисперсия простая Д = ((3-4) 2 +(4-4) 2 +(4-4) 2 +(5-4) 2)/4 = 0,5.

Если исходные данные X сгруппированы (имеются частоты f), то расчет дисперсии выполняется по формуле средней арифметической взвешенной - получим дисперсию взвешенную :

В рассматриваемом примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, рассчитаем дисперсию взвешенную: Д = ((3-4) 2 *1+(4-4) 2 *2+(5-4) 2 *1)/4 = 0,5.

Если преобразовать формулу дисперсии (раскрыть скобки в числителе, почленно разделить на знаменатель и привести подобные), то можно получить еще одну формулу для ее расчета как разность средней квадратов и квадрата средней:

Еще проще можно найти среднее квадратическое отклонение , если предварительно рассчитана дисперсия, как корень квадратный из нее:

В примере про студента, в котором выше , найдем среднее квадратическое отклонение как корень квадратный из нее: .

Квадратический коэффициент вариации

Квадратический коэффициент вариации - это самый популярный относительный показатель вариации:

Критериальным значением квадратического коэффициента вариации V служит 0,333 или 33,3%, то есть если V меньше или равен 0,333 - вариация считает слабой, а если больше 0,333 - сильной. В случае сильной вариации изучаемая статистическая совокупность считается неоднородной , а средняя величина - нетипичной и ее нельзя использовать как обобщающий показатель этой совокупности.

В примере про студента, в котором выше , найдем квадратический коэффициент вариации V = 0,707/4 = 0,177, что меньше критериального значения 0,333, значит вариация слабая и равна 17,7%.

6.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Средняя величина - это одна из форм статистических показателей.

В средней величине сглаживаются индивидуальные особенности отдельных единиц совокупности, однако проявляется главное , основное, типичное, что характеризует совокупность в целом.

Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Обобщающий показатель - это показатель, который характеризует совокупность в целом.

Однородная совокупность - это совокупность, единицы которой формируются под воздействием общих основных причин и условий развития, определяющих общий уровень данного признака, характерный для всей изучаемой совокупности.

Средняя величина, исчисленная по качественно неоднородной совокупности, фиктивная, огульная.

Обязательные условия расчета средних величин

• 1. Средняя величина должна исчисляться на основе:
  • а) качественно однородной совокупности;
  • б) массовых достоверных данных;
  • в) сопоставимых данных (по территории, времени, единицам измерения, методике расчета и пр.).
• 2. Общая средняя величина обязательно должна дополняться другими средними величинами, исчисленными по отдельным группам, индивидуальными значениями осредняемого признака, средними других показателей.

Соблюдение этих условий позволит получить объективную характеристику явления и принять верное управленческое решение.

Например, в 2015 г. среднемесячная номинальная начисленная заработная плата в Российской Федерации в целом по экономике составляла 34 030 руб., в том числе 15 758 руб. в текстильном и швейном производстве (это самая низкая заработная плата), 81 605 руб. - в производстве кокса и нефтепродуктов (самая высокая заработная плата).

В экономической практике применяют различные виды средних величин, которые подразделяются на две группы: степенные средние и структурные средние.

Степенные средние:

• 1) средняя арифметическая;
• 2) средняя гармоническая;
• 3) средняя геометрическая;
• 4) средняя квадратическая;
• 5) средняя кубическая и др.

Структурные средние : мода; медиана; квартили; децили и др. (будут рассмотрены в главе 7).

Выбор конкретной формулы расчета средней величины зависит:

• 1) от смысловой формулы, т.е. сущности осредняемого признака, его содержания, взаимосвязи с итоговым (определяющим) показателем;
• 2) данных, которыми располагает исследователь;
• 3) степени вариации (колеблемости) осредняемого признака.

Итоговый (определяющий ) показатель - это показатель, величина

которого не изменится, если все индивидуальные значения признака (Xj) заменить средней величиной X.

Определяющий показатель находится либо в числителе, либо в знаменателе смысловой формулы.

Вопрос. Как составить смысловую формулу для расчета средней из ОВ?

Совет бывалого статистика. Смысловая (логическая) формула для расчета средней величины из относительных показателей совпадает

с формулой расчета самого относительного показателя.

Смысловая формула среднего процента брака совпадает с формулой расчета относительной величины структуры (удельного веса брака в общем объеме продукции):

Между степенными средними существует определенное количественное соотношение, которое называется правилом мажорантности:

Вопрос. Можно ли заменить одну формулу расчета средней величины другой и в каком случае?

Совет бывалого статистика. Если колеблемость признака небольшая,

если значения признака (Х|) близки друг к другу, то более сложную

среднюю величину можно заменить более простой.

Например, вместо средней геометрической использовать среднюю арифметическую.

В данной главе будет рассмотрено два вида средних величин: средняя арифметическая и средняя гармоническая.

Другие виды средних величин будут изучены в следующих главах практикума.

В таблице 6.1 представлены основные формулы расчета средней арифметической и средней гармонической величин.

Таблица 6.1

Расчет средней арифметической и средней гармонической

Вид средней величины	Формула расчета
Средняя арифметическая простая	X - значение осредняемого признака у отдельных единиц совокупности; п - количество единиц в исследуемой совокупности или количество значений осредняемого признака. Используется, если: 1) данные не сгруппированы; 2) веса всех вариантов (/) равны друг другу; 3) ничего не известно о весах
Средняя арифметическая взвешенная	/- количество единиц, обладающее данным значением осредняемого признака, вес, соизмеритель
	d - доля единиц, обладающая определенным значением осредняемого признака, вес

Окончание

В практике экономических расчетов чаще всего используется средняя арифметическая величина.

В таблице 6.2 дана характеристика определенных свойств средней арифметической величины, которые широко используются для контроля и упрощения расчетов.

Таблица 6.2

Свойства средней арифметической величины

Свойство средней арифметической	Формула
1. Любая средняя величина не может быть меньше наименьшего значения осредняемого признака и больше наибольшего значения в совокупности
2. Если каждое значение признака увеличить или уменьшить на одно и то же число, то средняя величина изменится соответственно
3. Если каждое значение признака увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя величина изменится соответственно
4. Если веса всех вариантов умножить или разделить на одно и то же число, то средняя величина не изменится
Следствие: при расчете средней в качестве весов можно использовать удельные веса
5. Сумма отклонений отдельных вариантов от их средней равна нулю

Расчет средней величины способом моментов

Свойства средней арифметической позволяют упростить расчеты средних величин особенно для дискретных вариационных рядов, а также для интервальных рядов с равными интервалами. Проиллюстрируем это на примере.

Таблица 6.3

Выработка рабочих, шт./чел.	Середина интервала	Количество рабочих, человек /	х-х 0 , х 0 = 50	h ’ h = 20
80 и больше (80-100)

Решение. В таблице 6.3 представлен интервальный вариационный ряд с равными интервалами. В качестве значения признака (х) примем середину каждого интервала (графа 1).

Условимся, что ширина открытого интервала будет равна ширине соседнего с ним закрытого интервала.

Рассчитаем среднюю выработку рабочих бригады обычным (не упрощенным) способом:

Расчеты представлены в графах 3, 4 табл. 6.3.

2. Рассчитаем условную среднюю (среднюю из преобразованных вариант):

Расчеты представлены в графе 5 табл. 6.3.

3. Перейдем от условной средней (х) к фактической (х), для чего в обратном порядке выполним операции, которые мы сделали с х

Результат совпадает с расчетом неупрощенным способом.

Совет бывалого статистика. Если вариационный ряд с равными интервалами, то графы 1 и 3 таблицы исчислять не требуется. Сразу после графы 2 (/-частот) заполняем графу х". По центру этой графы записываем 0. Середина этого интервала будет х 0 , а ширина интервала - h (табл. 6.4).

Таблица 6.4

Расчет средней выработки способом моментов

6.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 6.1. Рассчитайте среднюю месячную заработную плату рабочих предприятия в текущем году по данным табл. 6.5.

Решение. Расчет средней величины необходимо начинать с написания смысловой формулы.

Смысловая (.логическая ) формула средней заработной платы:

Алгоритм (формула расчета) средней заработной платы зависит от того, какие статистические данные есть в распоряжении исследователя.

Рассмотрим несколько вариантов.

I вариант. Если известно, что в текущем году фонд заработной платы рабочих предприятия за месяц составил 2804 тыс. руб., а работало на предприятии 72 человека, то среднюю заработную плату можно рассчитать, непосредственно подставив в смысловую формулу 6.2 известные нам данные о фонде заработной платы и численности рабочих:

Вывод. В текущем году рабочие предприятия получали в среднем в месяц 38,9 тыс. руб.

II вариант. Известны данные о заработной плате и численности рабочих по отдельным цехам предприятия (табл. 6.5).

Таблица 6.5

Фонд заработной платы и численность рабочих отдельных цехов предприятия за месяц

Решение. Смысловая (логическая) формула средней заработной платы не изменилась (формула 6.2). Однако ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы нам непосредственно неизвестны, но их можно рассчитать, используя данные табл. 6.5.

Выберем условные обозначения (табл. 6.6).

Чтобы рассчитать числитель смысловой формулы - «Фонд заработной платы рабочих предприятия», необходимо по каждому цеху предприятия умножить заработную плату рабочих (X) на численность рабочих (/), а затем, получив фонд заработной платы по каждому цеху (Xf), сложить их значения, исчислив, таким образом, фонд заработной платы по предприятию в целом:

Итоги расчетов представим в табл. 6.6.

Таблица 6.6

Расчет средней заработной платы рабочих предприятия за месяц (средняя арифметическая взвешенная)

Тогда средняя заработная плата по предприятию (X) будет равна:

Расчет средней заработной платы произвели по формуле средней арифметической взвешенной.

Вопрос. С какой точностью следует исчислять среднюю величину?

Совет бывалого статистика. Степень точности расчета средней величины должна быть выше степени точности осредняемых показателей, особенно при их небольших значениях.

В нашем случае заработная плата по отдельным цехам предприятия исчислена с точностью до целого числа (32; 48; 39), а средняя заработная плата - с более высокой степенью точности, до десятой доли числа (38,9).

Вопрос. Можно ли проверить правильность расчета средней величины?

Совет бывалого статистика. Любая средняя величина должна быть больше минимального значения и меньше максимального значения осредняемого признака (свойство любой средней величины):

В нашем случае это требование соблюдается:

Следовательно, грубой ошибки в расчетах не допущено.

Вывод. В текущем году средняя заработная плата рабочих предприятия за месяц составила 38,9 тыс. руб. Самая высокая заработная плата была в цехе № 2 - 48 тыс. руб./чел., самая низкая - в цехе № 1 - 32 тыс. руб./чел.

Вопрос. По какой формуле нужно исчислять среднюю величину, если известен только знаменатель смысловой формулы, а числитель не известен, но его можно рассчитать?

Совет бывалого статистика. Если известен только знаменатель смысловой формулы, а числитель не известен, но его можно рассчитать, исчисление средней величины производят по формуле средней арифметической взвешенной:

III вариант. Известны данные о заработной плате и фонде заработной платы рабочих по отдельным цехам предприятия за месяц (табл. 6.7).

Таблица 6.7

Фонд заработной платы и численность рабочих отдельных цехов предприятия за месяц

Решение. Смысловая (логическая) формула средней заработной платы осталась прежней (6.2).

Однако ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы нам непосредственно неизвестны. Но их можно рассчитать по данным табл. 6.7.

Чтобы рассчитать знаменатель смысловой формулы - «Численность рабочих предприятия», необходимо по каждому цеху разделить фонд заработной платы (М ) на численность рабочих (X) и полученные данные сложить:

Итоги расчетов представим в табл. 6.8.

Таблица 6.8

Расчет средней заработной платы рабочих предприятия за месяц (средняя гармоническая взвешенная)

Расчет произвели по формуле средней гармонической взвешенной.

Проверка:

Вопрос. По какой формуле необходимо исчислять среднюю величину, если известен только числитель смысловой формулы, а знаменатель не известен, но его можно рассчитать?

Совет бывалого статистика. Если известен только числитель смысловой формулы, а знаменатель не известен, но его можно рассчитать, исчисление средней производят по формуле средней гармонической взвешенной:

IV вариант. Возможен случай, когда не известны данные ни о фонде заработной платы, ни о численности рабочих и рассчитать их нельзя. Однако известна информация о заработной плате по каждому цеху предприятия, т.е. даны значения осредняемого признака (xj) (табл. 6.9).

Таблица 6.9

Заработная плата рабочих предприятия за месяц

Решение. В этом случае расчет средней заработной платы производят по формуле средней арифметической простой на основе данных о заработной плате (без учета сведений о численности рабочих):

Проверка:

Вопрос. Но какой формуле можно исчислить среднюю величину, если известны только значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности?

Совет бывалого статистика Если не известен ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы, но известны значения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности, расчет средней величины производят по формуле средней арифметической простой:

Как мы видим, заработная плата, исчисленная по формуле средней арифметической простой и средней арифметической взвешенной , количественно не совпадают:

Совет бывалого статистика. Средняя арифметическая взвешенная всегда дает более точный результат, чем средняя арифметическая простая, так как учитывает больше факторов, определяющих значение средней величины.

В нашем случае средняя арифметическая простая учитывает только разброс значений заработной платы в отдельных цехах, а средняя арифметическая взвешенная учитывает еще и количество рабочих, получающих каждое значение заработной платы.

Задача 6.2. В прошлом году билеты на концерты органной музыки можно было купить за 800, 1000 и 1200 руб. В текущем году цена билетов увеличилась на 100 руб.

Решение.

1. Рассчитаем среднюю цену на билеты в прошлом году.

Смысловая формула средней цены:

Так как нам не известен ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы, но известны значения осредняемого признака (цены), можно воспользоваться только формулой средней арифметической простой".

Проверка:

Вывод. В прошлом году билеты на концерты органной музыки продавали в среднем по 967 руб./шт.

2. Рассчитаем среднюю цену на билеты в текущем году.

Проверка:

Для упрощения расчетов без потери их точности воспользуемся свойством средней величины (табл. 6.2, свойство 2):

Если в текущем году цены на все билеты повысили на 100 руб., то средняя цена в текущем году будет на 100 руб. больше прошлогодней средней цены:

Вывод. В текущем году билеты на концерты органной музыки будут продавать в среднем по 1067 руб./шт.

Совет бывалого статистика. Если каждое значение признака (X) увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то значение средней величины увеличится (уменьшится) на то же число.

Задача 6.3. Рассчитайте среднюю цену билетов на концерты органной музыки, если известно, что в прошлом году 33% билетов продавали по цене 1200 руб., 57% - по 900 руб. и 10% - по 800 руб.

Решение. Нам не известен ни числитель, ни знаменатель смысловой формулы и рассчитать их по условию задачи нельзя:

Однако определить среднюю цену билетов можно, если воспользоваться свойством средней величины (табл. 6.2): если веса (J) всех значений признака (X ) умножить или разделить на одно и то же число, то средняя величина не изменится.

Следовательно,

Вывод. В прошлом году билеты на концерты органной музыки продавали в среднем по 989 руб./шт.

Объясните, почему средняя цена билетов в задачах 6.2 и 6.3 не совпадает.

Совет бывалого статистика. В качестве весов (/) можно использовать удельные веса . Средняя величина не изменится.

Рассчитаем среднюю величину в интервальном вариационном

Задача 6.4. По данным таблицы 6.10 рассчитайте среднюю выработку рабочих бригады за смену, указав вид средней величины.

Таблица 6.10

Распределение рабочих бригады по выработке

Решение. Для расчета средней выработки рабочих бригады за смену воспользуемся смысловой формулой:

По условию задачи нам известен знаменатель смысловой формулы (численность рабочих бригады), а числитель (выпуск продукции рабочими бригады за смену) - нет, но его можно найти, перемножив по каждой группе выработку рабочих на количество рабочих. Следовательно, необходимо применять формулу средней арифметической взвешенной:

Однако данные о выработке рабочих представлены в виде интервалов, т.е. мы не знаем конкретно, сколько единиц продукции выработал каждый рабочий. Нам известно только, что каждый рабочий первой группы выпустил менее 10 изделий, второй - от 10 до 16 изделий и т.д. Какое же значение брать в качестве значения выработки из каждого интервала?

Совет бывалого статистика. Если данные представлены в виде интервального ряда, то в качестве значения признака (X) принимаем середину каждого интервала.

Первый интервал «до 10» - открытый, так как не имеет нижней границы. Сначала «закроем» этот интервал, условно определив его нижнюю границу.

Вопрос. Как закрыть открытый интервал?

Совет бывалого статистика. Величина открытого интервала принимается равной величине соседнего с ним закрытого интервала.

Величина соседнего закрытого интервала «10-16» равна 6=16- 10, следовательно, нижняя граница первого интервала будет составлять 4 = 10 - 6. Значит, первый интервал: «4-10».

Последний интервал «22 и выше» также открытый. Он не имеет верхней границы. Величина соседнего с ним закрытого интервала равна 6 = 22 - 16, следовательно, верхняя граница открытого интервала будет составлять 22 + 6 = 28. Последний интервал: «22-28».

Оформим решение в табл. 6.11.

Середину интервала по каждой группе рассчитаем по формуле средней арифметической простой. Например, для первой группы (первого интервала):

Таблица 6.11

Расчет средней выработки рабочих по данным интервального

ряда

Выработка рабочих бригады за смену, шт.	Численность рабочих, человек	Средняя выработка по группе, шт.	Выпуск продукции рабочими бригады за смену, шт.
		(4 + 10): 2 = 7	7 х-5 = 35
		(10 + 16): 2 = 13	13^-18 = 234

Смысловая формула средней выработки:

Исходя из смысловой формулы и данных, которыми мы располагаем, расчет средней зарплаты произведем по формуле средней арифметической взвешенной:

Проверка:

Вывод. Рабочие бригады вырабатывали в среднем 16 изделий за смену.

6.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Умен и способен тот, кто спрашивает, когда сомневается в чем-нибудь.

Ли Шин-ин

Задание 6.1. Напишите логическую (смысловую) формулу для расчета следующих показателей:

• 1) средняя урожайность картофеля;
• 2) средний процент выполнения плана;
• 3) средняя зарплата одного рабочего;
• 4) средний процент продукции высшего сорта;
• 5) средняя себестоимость единицы продукции;
• 6) средняя цена товара;
• 7) средняя рентабельность.

Задание 6.2. Заполнив табл. 6.12, рассчитайте за каждый квартал текущего года средний процент бракованной продукции по трем бригадам в целом. Назовите вид средних величин, по которым производился расчет. Проанализируйте полученные результаты.

Таблица 6.12

Экономические показатели по трем бригадам сборочного

цеха

Бригада	1 квартал			II квартал
	процент бракованной продукции	выпуск продукции,		процент бракованной продукции	выпуск бракованной продукции, шт.

Задание 6.3. Заполнив табл. 6.13, рассчитайте за каждый месяц текущего года среднюю рентабельность по трем предприятиям фирмы в целом.

Проанализируйте полученные результаты. Аргументируйте выбор средних величин, по которым производился расчет.

Таблица 6.13

Экономические показатели по трем предприятиям фирмы «Орфей»

Задание 6.4. Имеются следующие данные по трем сельскохозяйственным предприятиям области в текущем году:

• 1. Рассчитайте среднюю урожайность в целом по трем предприятиям за каждое полугодие и год.
• 2. Изучите изменение средней урожайности во втором полугодии по сравнению с первым. Сделайте выводы.
• 3. Проанализируйте изменение структуры посевных площадей.
• 4. Расчеты оформите в таблице.

Задание 6.5. Известны следующие данные о продажах крупы населению района по трем магазинам фирмы за февраль текущего года:

Таблица 6.14

Цена и объем реализации крупы за февраль текущего года

Рассчитайте:

• 1) среднюю цену 1 кг крупы по фирме в целом. Обоснуйте выбор формулы расчета средней величины. Оформите расчеты в виде таблицы;
• 2) долю магазина № 1 в общем объеме проданной крупы по фирме в целом.

Сделайте вывод.

Задание 6.6. По данным табл. 6.15 рассчитайте средний процент сертифицированной продукции. Аргументируйте выбор формулы расчета средней величины.

Сделайте вывод о динамике качества продукции, если в прошлом периоде средний процент сертифицированной продукции составлял 70,9%.

Таблица 6.15

Данные о сертификации продукции фирмы «Квадрат»

Задание 6.7. По данным табл. 6.16 рассчитайте средний процент выполнения сменного задания рабочими бригады, в том числе способом моментов.

Таблица 6.16

Распределение рабочих бригады по проценту выполнения сменного задания

Расчеты оформите в таблице. Сделайте выводы.

Задание 6.8. Рассчитайте средний тарифный разряд рабочих бригады, если 20% рабочих имеют третий разряд, 40% - четвертый, 35% - пятый, остальные - шестой. Укажите вид средней величины, по которой производился расчет. Назовите свойство средней величины, которым вы воспользовались в ходе решения.

Как изменилась квалификация рабочих бригады, если в прошлом году средний тарифный разряд рабочих составил 5,1. Сделайте выводы.

Задание 6.9. Кафе «Огонек» планировало купить 50 кг мяса по 300 руб./кг и 80 кг - по 270 руб./кг. Однако поставщик поднял цены на мясо в 1,2 раза.

Рассчитайте, по какой цене в среднем был фактически куплен 1 кг мяса и какова была средняя плановая цена закупки.

Назовите вид средней величины, по которой производился расчет. Сделайте выводы.

Задание 6.10. В предыдущем году у 28% населения области годовой доход на каждого члена семьи составлял 180 тыс. руб., у 56% - 264 тыс. руб., у остальных - 588 тыс. руб.

Представьте данные в форме таблицы. Определите средний годовой душевой доход семьи по области в целом.

Укажите вид средней величины, по которой производился расчет. Сделайте вывод.

Задание 6.11. Рассчитайте среднюю прибыль на одну акцию по фирме в целом, если сумма прибыли по первому предприятию фирмы составила 168,0 тыс. руб., по второму - 228,8 тыс. руб., по третьему - 218,4 тыс. руб. Прибыль на одну акцию по предприятиям фирмы составила соответственно 6,0; 5,2; 3,9 руб.

Рассчитайте долю каждого предприятия в общей сумме прибыли фирмы.

Расчеты задачи оформите в таблице. Сделайте вывод.

Задание 6.12. По данным табл. 6.17 рассчитайте средний возраст рабочих организации, указав вид средней величины.

Таблица 6.17

Распределение рабочих ПАО «Рекорд» по возрасту

Изучите возрастную структуру рабочих организации, исчислив ОБ структуры.

Расчеты оформите в таблице. Сделайте выводы.

Задание 6.13. Рассчитайте среднюю трудоемкость изготовления единицы продукции по фирме в целом, если затраты времени на производство продукции по первому предприятию фирмы составили 276 тыс. чел.-час, по второму - 2016 тыс. чел.-час, по третьему - 3666 тыс. чел.-час. Трудоемкость изделия по предприятиям фирмы составила соответственно 4,6; 11,2; 9,4 час/шт.

Укажите вид средней величины, по которой производился расчет.

Рассчитайте долю каждого предприятия в общих затратах времени на производство продукции фирмы. Укажите вид исчисленной ОБ.

Расчеты оформите в таблице. Сделайте вывод.

Задание 6.14. В России в 22 клубах Континентальной хоккейной лиги (КХЛ) 101 иностранец, в том числе: 14 - из Канады, 11 - из США, 76 - из Европы. В 14 клубах российской волейбольной суперлиги 17 иностранцев. В 10 клубах баскетбольной единой лиги ВТБ 53 иностранца. В российской футбольной премьер-лиге 16 клубов, в которых 131 иностранец. В российской суперлиге по хоккею с мячом 13 команд и всего 6 иностранцев. Примечание: все команды - мужские.

Рассчитайте: 1) среднее количество легионеров в клубах России; 2) структуру легионеров в КХЛ по признаку страны. Начертите структурную диаграмму. Сделайте выводы.

Задание 6.15. Известны следующие данные о торгово-производственной деятельности кафе «Ромашка» за сентябрь текущего года:

Рассчитайте:

• 1) по какой цене в среднем кафе «Ромашка» покупало товар в сентябре? Укажите вид исчисленной средней величины;
• 2) долю (удельный вес) каждой партии товара в общем объеме поступлений за месяц (в %). Оцените ритмичность поступлений товара.
• 3) на сколько рублей и процентов увеличилась средняя цена закупки товара, если в октябре товар покупали в среднем за 127,81 руб./шт.?

Сделайте выводы.

• Вывод. Каждый рабочий бригады вырабатывал в среднем 48 единиц продукции за смену. В дальнейших вычислениях средней выработки упрощенным способом воспользуемся свойствами средней арифметической величины. 1. В расчетах в качестве значения осредняемого признака (х) возьмем преобразованные варианты(х): где xq и h - любые числа. Совет бывалого статистика. Самого большого упрощения можно добиться, если в качестве х0 принять середину центрального интервала(х0 = 50), а в качестве h - ширину интервала (h = 20).