Нечеткая логика нечеткий логический вывод. Методические указания к лабораторной работе на тему: «Нечеткий логический вывод. Нечеткая системная настройка вывода
Типовая структура процесса нечеткого вывода показана на рис. 17.
Рис, 17
Прежде всего, должна быть сформирована база правил, представляющая собой конечное множество правил нечетких продукций. Формирование базы правил включает определение входных и выходных лингвистических переменных, а также собственно правил. Входными лингвистическими переменными называются лингвистические переменные, используемые в подусловиях правил. Выходные переменные - переменные, используемые в подзаключениях правил. Определение лингвистических переменных означает определение базовых терм-множеств переменных и функций принадлежности терм-множеств. Правила формируется, как было рассмотрено в разделе 2.4. Каждому правилу может быть приписан вес, принимающий значение из интервала . Если вес отсутствует, можно считать, что вес равен нулю.
На вход системы нечеткого вывода поступает вектор х* =[*,*,*2, »?**, ] четких значений лингвистических переменных д. Блок фаззификации (am. fuzzification - приведении к нечеткости) вычисляет степени принадлежности этих значений нечетким множествам значений лингвистических переменных. Для этого должны быть известны функции каждого терма лингвистической переменной.
Фаззификация производится следующим образом. Пусть для каждой входной лингвистической переменной д известно ее числовое значение х*. Рассматривается каждое высказывание подусловий, в котором фигурирует переменная д, например, " р. есть от ", где ос ( -терм с известной функцией принадлежности [лАх). Значение х* используется в качестве аргумента //(л), в результате чего находится = д (х*). При этом могут использоваться модификаторы. Таким образом вычисляются значения истинности всех подусловий системы нечеткого вывода. Высказывания в подусловиях заменяются числами. На выходе блока фаззификации формируется вектор m = , который является входом блока вывода.
Блок нечеткого логического вывода получает на входе вектор степени истинности всех подусловий т и вычисляет результирующую функцию принадлежности выходного значения (система вывода может иметь несколько выходов, тогда речь идет о выходном векторе). Вычисление результирующей функции принадлежности включает следующие процедуры (в скобках указаны названия процедур в соответствии с международным стандартом языков программирования контроллеров IEC 1131 - Programmable Controllers. Part 7 - Fuzzy Control Programming ):
- - вычисление степени истинности условий (Aggregation - агрегирование);
- - определение активизированных функций принадлежности заключений (Activftion - активизация);
- - определение результирующих функций принадлежности выходных лингвистических переменных (Accumulation - аккумуляция).
В процедуре вычисления степени истинности условий по каждому из правил системы нечеткого вывода (агрегирование) рассматривается каждое условие правил системы нечеткого вывода и вычисляется степень истинности условий. Исходными данными являются степени истинности подусловий (вектор т ), вычисленные в блоке фаззификации. Если условие содержит одно нечеткое высказывание вида, то степень истинности условия равна степени истинности высказывания условия. Если условие состоит из двух подусловий, связанных конъюнкцией, или дизъюнкцией, степень выполнения условия вычисляется с помощью треугольных норм (раздел 1.5). Например, для условия правила ЕСЛИ "(3, есть а," И "Р 2 естьа 2 " получаем ц(ц,дс г ")= 7 ’(ц 11 (х;)ц„(л-;)),
х и х 2 - значения входных переменных л;, и х 2 ,
Т - один из операторов t-нормы, /и а (х) и М а, (*) - функции принадлежности термов «, и а 2 .
Аналогично для условия правила:
где S - один из операторов s-нормы. Если условие содержит множество подусловий, соединенных дизъюнкциями и конъюнкциями, то сначала вычисляются степени истинности подусловий, соединенных конъюнкциями, затем - дизъюнкциями. Как обычно, скобки нарушают порядок действий. Рекомендуется использовать согласованные правила расчета истинности. Например, если для вычисления нечеткой конъюнкции используется операция min-пересечения, то для вычисления нечеткой дизъюнкции следует применить операцию max-объединения.
Процедура определения активизированных функций принадлежности заключений (активизация) основана на операции нечеткой импликации (раздел 2.1). Входными данными для процедуры являются степени истинности условий правил и функции принадлежности выходных величин, выходными - функции принадлежности всех подзаключений. Рассмотрим пример . Пусть правило имеет вид ЕСЛИ (х= Л)ТО (у = В) , функции принадлежности ц А (х) и Мв(у) -треугольные (рис. 18), входное значение х* = 6,5, степень истинности условия /i, f (х*) = 0,5 (см. рис. 18).
Рис . 18 -
Используем импликацию Мамдаии:
Практически активизированная функция принадлежности заключения при использовании импликации Мамдани находится простым усечением функции принадлежности заключения Мв(у) Д° уровня степень истинности условия [л А (х*) (рис. 18). Можно использовать другие операторы нечеткой импликации.
Например, результат активизации заключения с использованием правила «произведение» показан на рис. 19.
Рис . 19
На практике, особенно при наличии в правилах нескольких позаключений, удобно использовать процедуру активизации, основанную на алгоритме вывода Мамдани (алгоритм будет рассмотрен в разделе 2.6). В этом алгоритме для каждого правила задастся весовой коэффициент /^е. Может быть F/= 1, такое значение принимают, если весовой коэффициент не задан явно. Для отдельных подзаключений одного правила могут быть заданы разные весовые коэффициенты. Степень истинности всех подзаключений /-го правила рассчитывается по формуле
Активизированная функция принадлежности j- го подзаключения /-го правила вычисляется по одной из формул, основанных на методе нечеткой композиции:
min-активизация /J* (д>) = min {с п (j")};
prod-активизация //* (у) = c t // (у).
Рассмотренный алгоритм особенно удобен, когда правила содержат по несколько подзаключений вида.
Так как подзаключения, относящиеся к одной и той же выходной лингвистической переменной, в общем виде принадлежат разным правилам, то необходимо построить единую результирующую функцию принадлежности для каждой выходной переменной. Эта процедура называется аккумуляцией. Аккумуляция производится объединением с помощью одной из s-норм активизированных функций принадлежности каждой выходной лингвистической переменной. В результате для каждой выходной переменной получается одна функция принадлежности, возможно, весьма сложной формы.
Дефаззификация (приведение к четности) - нахождение для каждой выходной лингвистической переменной четкого значения в некотором смысле наилучшим образом, представляющим нечеткую переменную. Необходимость в дефаззификации объясняется тем, что на выходе системы нечеткого вывода нужны, как правило, четкие значения, которые поступают, например, на исполнительный механизм. Так как возможны разные критерии представления чечеткой переменной одним числом, то существуют различные методы дефаззификации . В результате определения результирующих функций принадлежности выходных лингвистических переменных получаются результирующие функции принадлежности №res{y)- Для унимодальной функции принадлежности простейшим методом дефаззификации является выбор четкого числа, соответствующего максимальной степени принадлежности. Обобщением этого метода на многомодальные функции являются методы левого и правового модального значения.
В методе левого модального значения (LM - Lost Most Maxi mum), называемом еще метод первого максимума (FM - FirstofMaxima) , или наименьший из максимумов (SOM - Smallest Of Maximums) в качестве четкого значения берется у = min {х т }, где х т - модальное значение результирующей функции принадлежности. Другими словами, в качестве четкой выходной переменной берется наименьшая (самая левая) мода.
В методе правого модального значения (RM - RightMostMaximum), называемом еще метод последнего максимума (LM - LastofMaxima), или метод наибольшего максимума (LOM - Largest Of Maximums) в качестве четкого значения берется у = тах{х /и |, то есть наибольшая (самая правая) из мод. Примеры дефаззификации с использование левого и правого модальных значений представлены на рис. 20а и 206.
В методе среднего максимума (ММ - MidleofMaxima), или методе центра максимумов (MOM - MeanOfMaximums) находится среднее арифметическое элементов универсального множества, имеющих максимальные степени принадлежностей
где G - множество всех элементов из интервала, имеющих максимальную степень принадлежности нечеткому множеству. Пример дефаззификации с использование метода среднего максимума представлен на рис. 20в.
Дефаззификация по методу центра тяжести (CG - Center of Gravity, Centroid) производится по формуле определения центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции принадлежности нечеткого множества
где Min и Мах - левая и правая точки интервала носителя выходной переменной.
Пример дефаззификации с использование метода центра тяжести представлен на рис. 20в.
Рис. 20 - Примеры дефаззификации а) результат дефаззификации по методу левого модального значения у =у 1 ;
- б) результат дефаззификации по методу правого модального значения у = у 2 ;
- в) результат дефаззфификации по методу среднего максимума;
- г) результат дефаззификации по методу центра тяжести. Дефаззификацияпо методу центра площади (СА - Center of
Area, Bisector of Area, Bisector) состоит в нахождении такого чис-
>’ Мах
ла у, что J //(x)dx= J //(x)dx . Геометрический смысл метода
состоит в нахождении такой точки на оси абсцисс, что перпендикуляр, восстановленный в этой точке, делит площадь под кривой функции принадлежности на две равные части.
Говоря о нечеткой логике, чаще всего имеют в виду системы нечеткого вывода, которые широко используются для управления техническими устройствами и процессами. Разработка и применение систем нечетко вывода включает в себя ряд этапов, реализация которых выполняется с помощью рассмотренных ранее основных положений нечеткой логики.
Основные этапы формирования нечеткого вывода:
Формирование базы правил систем нечеткого вывода.
Фаззификация входных переменных.
Агрегирование подусловий в нечетких правилах продукций.
Активизация или композиция подзаключений в нечетких правилах продукций.
Аккумулирование заключений нечетких правил продукций.
Ниже рассмотрим основные особенности каждого из этих этапов.
1.2.1 Формирование базы правил нечеткого вывода
База правил системы нечеткого вывода предназначена для формального представления эмпирических знаний или знаний экспертов в той или иной проблемной области. В системах нечеткого вывода используются правила нечетких продукций, в которых условия и заключения сформулированы в терминах нечетких лингвистических высказываний рассмотренных выше видов. Совокупность таких правил будем далее называть базами правил нечетких продукций.
База правил нечетких продукций представляет собой конечное множество правил нечетких продукций, согласованных относительно используемых в них лингвистических переменных. Наиболее часто база правил представляется в форме структурированной текста:
ПРАВИЛО_1: ЕСЛИ "Условие_1", ТО "Заключение_1"
ПРАВИЛО_2: ЕСЛИ "Условие_2", ТО "Заключение_2" (1.2)
ПРАВИЛО_N: ЕСЛИ "Условие_N", ТО "Заключение_N"
Согласованность правил относительно используемых лингвистических переменных означает, что в качестве условий и заключений правил могут использоваться только нечеткие лингвистические высказывания представленные в пункте 1.1.2, при этом в каждом из нечетких высказываний должны быть определены функции принадлежности значений терм-множества для каждой из лингвистических переменных.
В системах нечеткого вывода лингвистические переменные, которые используются в нечетких высказываниях подусловий правил нечетких продукций, часто называют входными лингвистическими переменными, а переменные, которые используются в нечетких высказываниях подзаключений правил нечетких продукций, часто называют выходными лингвистическими переменными.
1.2.2. Фаззификация
В контексте нечеткой логики под фаззификацией понимается не только отдельный этап выполнения нечеткого вывода, но и собственно процесс или процедура нахождения значений функций принадлежности нечетких множеств (термов) на основе обычных исходных данных. Фаззификацию еще называют введением нечеткости.
Целью этапа фаззификации является установление соответствия между конкретным значением отдельной входной переменной системы нечеткого вывода и значением функции принадлежности соответствующего ей терма входной лингвистической переменной.
П р и м е р 1.1 Для иллюстрации выполнения этого этапа рассмотрим пример процесса фаззификации трех нечетких высказываний: "скорость автомобиля малая", "скорость автомобиля средняя", "скорость автомобиля высокая" для входной лингвистической переменной β1 - скорость движения автомобиля. Им соответствуют нечеткие высказывания первого вида: " β1есть α1 ", " β2есть α2 ", " β3есть α3 ". Предположим, что текущая скорость автомобиля 55 км/ч. Тогда фаззификация первого нечеткого высказывания и третьего дает в результате число 0, второго 0.67.
Рисунок 1.1 - Пример фаззификации входной лингвистической переменной "скорость автомобиля" для трех нечетких высказываний.
На тему:
«Нечеткий логический вывод»
Цель работы: освоить порядок формирования лингвистических переменных и выполнения нечеткого логического вывода.
1. Теоретические сведения
1.1. Последовательность выполнения нечеткого вывода
Используемый в различного рода экспертных и управляющих системах механизм нечетких выводов в своей основе имеет базу знаний, формируемую специалистами предметной области в виде совокупности нечетких правил следующего вида:
П1: если x есть A 1, то y есть B 1;
П2: если x есть A 2, то y есть B 2;
Пn : если x есть An , то y есть Bn ,
где x – входная лингвистическая переменная (имя для известных значений данных); y – выходная лингвистическая переменная (имя для значения данных, которое будет вычислено); Ai , Bi – функции принадлежности (нечеткие подмножества), определенные соответственно на x и y ; «x есть A » – нечеткое высказывание, называемое предпосылкой правила; «y есть B» – н ечеткое высказывание, называемое заключением правила.
Пример подобного правила:
Если цена высокая , то спрос низкий .
Здесь цена – входная переменная x ; спрос – выходное значение y ; высокая , низкий – функции принадлежности (нечеткие подмножества), определенные на множествах значений цены и спроса соответственно.
В нечетких управляющих системах все правила работают одновременно, но степень их влияния на результат различна. Поэтому основой функционирования нечетких управляющих систем является вычисление обобщенного результата, учитывающего влияние всех правил.
Процесс обработки нечетких правил вывода в управляющих системах состоит из четырех этапов:
1. Введение нечеткости (фазификация). Функции принадлежности, определенные на входных переменных, применяются к их фактическим значениям для определения степени истинности предпосылки каждого правила.
2. Нечеткий вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям правил. Это дает нечеткое подмножество для переменной вывода каждого правила. В качестве правил логического вывода используются операции min (МИНИМУМ) или prod (ПРОИЗВЕДЕНИЕ). В логическом выводе МИНИМУМА функция принадлежности заключения правила «отсекается» по высоте, соответствующей вычисленной степени истинности предпосылки правила (см. рис. 1). В логическом выводе ПРОИЗВЕДЕНИЯ степень истинности предпосылки правила используется как коэффициент, на который умножаются значения функции принадлежности заключения правила (см. рис. 2).
3. Композиция . Все нечеткие подмножества, определенные для каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вместе и формируют одно нечеткое подмножество для каждой переменной вывода. При таком объединении используется операция max (МАКСИМУМ) или sum (СУММА). При композиции МАКСИМУМ выполняется объединение функций принадлежности нечетких подмножеств по формуле (графическая интерпретация приведена на рис. 3):
https://pandia.ru/text/80/195/images/image003_177.gif" width="71" height="23">
Рис.4. Композиция СУММА.
4. Приведение к четкости или скаляризация (дефазификация) результата композиции, т. е. переход от нечеткого подмножества к скалярным значениям.
Скаляризация осуществляется различными способами. Чаще всего используется определение «центра тяжести» Н функции принадлежности нечеткого подмножества по формуле (см. рис. 5):
https://pandia.ru/text/80/195/images/image012_79.gif" width="232" height="60">.
Рис. 5. Скаляризация методом «центра тяжести».
Другой способ скаляризации – использование максимального значения функции принадлежности (см. рис. 6). При этом используются три разновидности взятия максимума: наибольшего из максимумов (LOM ), наименьшего из максимумов (SOM ) и центра максимумов (MOM ).
 |
Рис. 6. Скаляризация методом «максимума».
Пример. Пусть некоторая система описывается следующими нечеткими правилами:
П1: если x есть A , то w есть D ,
П2: если y есть B , то w есть E ,
П3: если z есть C , то w есть F ,
где x , y и z – имена входных переменных, w – имя переменной вывода, A , B , C , D , E , F – заданные функции принадлежности.
Процедура нечеткого логического вывода иллюстрируется рис. 7.
Предполагается, что входные переменные приняли некоторые конкретные (четкие) значения – x 0, y 0 и z 0.
В соответствии с приведенными этапами обработки нечетких правил вывода, на этапе 1 для данных значений и исходя из функций принадлежности A
, B
, C
, определяются степени истинности 
для предпосылок каждого из трех приведенных правил (см. рис. 7).
На этапе 2 происходит «отсекание» функций принадлежности заключений правил (т. е. D
, E
, F
) на уровнях .
На этапе 3 рассматриваются усеченные на втором этапе функции принадлежности и производится их объединение с использованием операции max, в результате чего получается комбинированное нечеткое подмножество, описываемое функцией принадлежности и соответствующее логическому выводу для выходной переменной w .
https://pandia.ru/text/80/195/images/image015_71.gif" width="53" height="27">: 
.
Рис. 7. Иллюстрация к процедуре нечеткого вывода.
1.2. Алгоритмы нечеткого вывода
Рассмотрим наиболее часто используемые модификации алгоритма нечеткого вывода, полагая, для простоты, что база знаний включает два нечетких правила вида:
П1: если x есть A 1 и y есть B 1 то z есть C 1,
П2: если x есть A 2 и y есть B 2 то z есть C 2,
где x , y – имена входных переменных; z – имя переменной вывода; A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, C 2 – некоторые заданные функции принадлежности.
Необходимо определить четкое значение z 0 на основе указанных правил вывода и четких значений x 0, y 0.
1.2.1. Алгоритм Мамдани
Данный алгоритм соответствует рассмотренному примеру и рис. 7. Математически он может быть описан следующим образом.
1. Нечеткость: определяются степени истинности для предпосылок каждого правила: A 1(x 0), A 2(x 0), B 1(y 0), B 2(y 0).
2. Нечеткий вывод: определяются уровни «отсечения» для предпосылок каждого из правил с использованием операции МИНИМУМ:
https://pandia.ru/text/80/195/images/image019_59.gif" width="162" height="25">,
где через «» обозначена операция взятия минимума (min), затем вычисляются «усеченные» функции принадлежности
https://pandia.ru/text/80/195/images/image022_54.gif" width="145" height="28">.
3. Композиция: с использованием операции МАКСИМУМ (max , далее обозначаемой как «») производится объединение найденных усеченных функций, в результате определяется итоговое нечеткое подмножество для переменной вывода с функцией принадлежности:
4. Приведение к четкости: для нахождения z 0 вычисляется центр тяжести .
1.2.2. Алгоритм Цукамото
Исходные посылки – как у предыдущего алгоритма, но в данном случае предполагается, что функции C 1(z ) и C 2(z ) являются монотонными. Алгоритм включает следующие шаги:
1. Первый этап такой же, как в алгоритме Мамдани.
2. На втором этапе сначала определяются (как в алгоритме Мамдани) уровни «отсечения» и , затем в результате решения уравнений
Https://pandia.ru/text/80/195/images/image030_35.gif" width="126" height="52 src=">
В случае n нечетких множеств используется следующая формула:
.
Пример. Пусть имеем , , https://pandia.ru/text/80/195/images/image035_34.gif" width="96" height="25 src=">.
Степени истинности предпосылок правил определяются следующим образом:
https://pandia.ru/text/80/195/images/image037_31.gif" width="340" height="25 src=">
и значения и https://pandia.ru/text/80/195/images/image040_32.gif" width="91" height="25 src=">, .
При этом четкое значение переменной вывода (см. рис. 8)
 |
Рис.8. Иллюстрация к алгоритму Цукамото.
1.2.3. Алгоритм Сугено
Алгоритм Сугено использует набор нечетких правил следующего вида:
П1: если x есть A 1 и y есть B 1 то ,
П2: если x есть A 2 и y есть B 2 то .
Алгоритм включает следующие шаги.
1. Первый шаг такой же, как в алгоритме Мамдани.
2..gif" width="162" height="25 src="> и индивидуальные выходы правил:
https://pandia.ru/text/80/195/images/image048_26.gif" width="120" height="27 src=">.
3. На третьем шаге определяется четкое значение переменной вывода по формуле:
https://pandia.ru/text/80/195/images/image027_43.gif" width="21" height="25">:
https://pandia.ru/text/80/195/images/image019_59.gif" width="162" height="25">,
а затем – нечеткие подмножества https://pandia.ru/text/80/195/images/image051_24.gif" width="64" height="25 src=">.
3..gif" width="205 height=47" height="47">.
4. Выполняется приведение к четкости методом центра тяжести.
Алгоритм Ларсена иллюстрирует рис. 9.
 |
Рис. 9. Иллюстрация алгоритма Ларсена.
1.2.5. Пример нечеткого вывода
Рассмотрим пример обработки нечетких правил вывода по алгоритму Ларсена в системе, управляющей вентилятором комнатного кондиционера.
Задача кондиционера – поддерживать оптимальную температуру воздуха в комнате, охлаждая его, когда жарко, и нагревая, когда холодно. Пусть, изменяя скорость вращения вентилятора, прогоняющего воздух через охлаждающий элемент, можно менять температуру воздуха в комнате, тогда алгоритм работы кондиционера может быть задан следующими правилами:
1. Если температура воздуха в комнате высокая, то скорость вращения вентилятора высокая.
2. Если температура воздуха в комнате средняя, то скорость вращения вентилятора средняя.
3. Если температура воздуха в комнате низкая, то скорость вращения вентилятора низкая.
Чтобы система могла обрабатывать эти правила, надо задать функции принадлежности для нечетких подмножеств, определяющих значение температуры t и скорость вращения вентилятора v . Пусть температура воздуха в комнате находится в пределах от 0 до 60°C. Функцию принадлежности для нечеткого подмножества низкая , определенную на интервале изменения температуры, можно задать, например, следующим образом (см. рис. 10). Если температура ниже 12°C, то это определенно низкая температура для комнаты (). Температуру выше 20°C никак нельзя назвать низкой (). В интервале от 12 до 20°С функция принадлежности линейно убывает, т. е. с увеличением температуры уменьшается истинность утверждения «температура воздуха в комнате низкая»..gif" width="249" height="116">
Рис. 10. Нечеткое подмножество «низкая», определенное на множестве значений температуры.
Сходные рассуждения позволяют задать функции принадлежности для оставшихся подмножеств: средняя
и высокая
(см. рис. 11, 12).
Рис. 11. Нечеткое подмножество «средняя», определенное на множестве значений температуры
 |
Рис.12. Нечеткое подмножество «высокая», определенное на множестве значений температуры
Определим нечеткие подмножества для скорости вращения вентилятора. Пусть она может изменяться от 0 до 1000 об/мин. Возможен следующий вариант определения функций принадлежности для нечетких подмножеств низкая
, средняя
и высокая
(см. рис. 13, 14, 15):
Рис. 13. Нечеткое подмножество «низкая», определенное на множестве
значений скорости вращения вентилятора
Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме «если - то» и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов. При этом должны соблюдаться следующие условия:
- 1) существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной;
- 2) для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).
В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.
Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной у* на основе заданных четких значений x k , k = 1,..., п.
В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа : введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация (рис. 6.19).
Рис. 6.19.
Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото .
База правил имеет следующий вид:
Рис. 6.23.
Рис. 6.24.
Рис. 6.25.
Открытие клапана
- Круглое В. В., Дли М. И. Интеллектуальные информационные системы: компьютернаяподдержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода. М.: Физматлит, 2002.
- Прикладные нечеткие системы: пер. с япон. / К. Асам [и др.) ; под ред. Т. Тэрано. М. :Мир, 1993.
Модус поненс выводит заключение "B есть истинно", если известно, что "A есть истинно" и существует правило "Если A, то B" (A и B - четкие логические утверждения). Однако, если прецедент отсутствует, то модус поненс не сможет вывести никакого, даже приближенного заключения. Даже в случае, когда известно, что близкое к A утверждение A" является истинным, модус поненс не может быть применен. Одним из возможных способов принятия решений при неопределенной информации является применение нечеткого логического вывода.
Определение 47. Нечетким логическим выводом называется получение заключения в виде нечеткого множества, соответствующего текущим значениях входов, с использованием нечеткой базы знаний и нечетких операций.
Основу нечеткого логического вывода составляет композиционное правило Заде.
Определение 48. Композиционное правило вывода Заде формулируется следующим образом: если известно нечеткое отношение между входной (x) и выходной (y) переменными, то при нечетком значении входной переменной , нечеткое значения выходной переменной определяется так:
где - максминая композиция.
Пример 12. Дано нечеткое правило "Если , то " с нечеткими множествами: и . Определить значение выходной переменной , если .
В начале рассчитаем нечеткое отношение, соответствующее правилу "Если , то ", применяя в качестве t-нормы операцию нахождения минимума:
.
Теперь, по формуле рассчитаем нечеткое значение выходной переменной:
Нечеткий логический вывод Мамдани
Нечеткий логический вывод по алгоритму Мамдани выполняется по нечеткой базе знаний:
,
в которой значения входных и выходной переменной заданы нечеткими множествами. Введем следующие обозначения, необходимые для дальнейшего изложения материала:
Функция принадлежности входа нечеткому терму , т.е. 
, .
Функция принадлежности выхода нечеткому терму , т.е. , .
Степени принадлежности входного вектора 
нечетким термам из базы знаний рассчитывается следующим образом:
где - операция из s-нормы (t-нормы), т.е. из множества реализаций логической операций ИЛИ (И). Наиболее часто используются следующие реализации: для операции ИЛИ - нахождение максимума и для операции И - нахождение минимума.
В результате получаем такое нечеткое множество , соответствующее входному вектору :
.
Особенностью этого нечеткого множества является то, что универсальным множеством для него является терм-множество выходной переменной . Такие нечеткие множества называются нечеткими множествами второго порядка.
Для перехода от нечеткого множества, заданного на универсальном множестве нечетких термов к нечеткому множеству на интервале необходимо: 1) "срезать" функции принадлежности на уровне ; 2) объединить (агрегировать) полученные нечеткие множества. Математически это записывается следующим образом:
,
где - агрегирование нечетких множеств, которое наиболее часто реализуется операцией нахождения максимума.
Четкое значение выхода , соответствующее входному вектору определяется в результате деффаззификации нечеткого множества . Наиболее часто применяется дефаззификация по методу центра тяжести.